Ejercicio resuelto de Diagrama de árbol · Matemáticas I

Una empresa somete a control de calidad 7 de cada 10 artículos fabricados. De los que son sometidos al control resultan defectuosos un 2 % y de los que no son sometidos a control de calidad resultan defectuosos un 12 %. Elegido un artículo al azar, calcula la probabilidad de que:

a) Sea defectuoso.

b) Haya sido sometido al control de calidad si es defectuoso.

Sean los sucesos $C=$ "el artículo ha sido sometido a control de calidad" y su contrario $\bar{C}=$ "el artículo no ha sido sometido a control de calidad". Se tiene que $P(C)=\mathrm{0,7}$, $P\left(\bar{C}\right)=\mathrm{0,3}$.

Se considera, además, el suceso $D=$ "el artículo es defectuoso".

$P(D\mid C)=\mathrm{0,02}$, $P(D\mid \bar{C})=\mathrm{0,12}$

a) Como los sucesos $Cltx$ y $ltx\bar{C}$ forman un sistema completo (un artículo o pasa el control o no), y conocemos la probabilidad de ser defectuoso en cada caso, usamos el $\mathbf{\text{teorema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{total}}$: $P(D)=P(D\mid C)\cdot P(C)+P(D\mid \bar{C})\cdot P\left(\bar{C}\right)$. Sustituyendo:

$P(D)=P(D\mid C)\cdot P(C)+P(D\mid \bar{C})\cdot P\left(\bar{C}\right)=\mathrm{0,02}\cdot \mathrm{0,7}+\mathrm{0,12}\cdot \mathrm{0,3}=\mathrm{0,05}$

b) Se pide la probabilidad del suceso $C$, condicionada a que el suceso $D$ ha ocurrido. Como queremos "darle la vuelta" al condicionamiento (sabemos $P(D\mid C)$ y buscamos $P(C\mid D)$), aplicamos la $\mathbf{\text{regla}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Bayes}}$: $P(C\mid D)={\displaystyle \frac{P(D\mid C)\cdot P(C)}{P(D)}}$. Sustituyendo:

$P(C\mid D)={\displaystyle \frac{P(D\mid C)\cdot P(C)}{P(D)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,02}\cdot \mathrm{0,7}}{\mathrm{0,05}}}=\mathrm{0,28}$