Ejercicio resuelto de Diagrama de árbol · Matemáticas I

El color de una clase de ratones, negros o marrones, depende de un par de genes, cada uno de los cuales puede ser B o b. Si los dos miembros de la pareja de genes son iguales (BB o bb) se dice que el ratón es homocigótico, en otro caso (Bb o bB) se dice que es heterocigótico. El ratón es de color marrón solo si es homocigótico (bb). La descendencia de una pareja de ratones tiene dos de los genes y uno de la madre, y si el padre y la madre tienen un par de genes heterocigótico, calcula la probabilidad de que el ratón sea:

a) Homocigótico.

b) Heterocigótico.

Se nombran los sucesos $H_o=$ "el ratón es homocigótico" y $H_e=$ "el ratón es heterocigótico". Según la pareja de genes que se forme, se tiene que $H_o=\{BB,bb\}$, $H_e=\{Bb,bB\}$.

Por otro lado, se consideran los sucesos $N=$ "el ratón es de color negro" y $M=$ "el ratón es de color marrón". Se tiene que $N=\{BB,bB,Bb\}ltx$ y $ltxM=\{bb\}$.

Se cruzan una pareja de ratones heterocigóticos, de forma que el conjunto de resultados posibles es:

$E=\{BB,Bb,bB,bb\}$

Siendo los posibles resultados equiprobables.

De esta forma, las probabilidades iniciales de que el ratón (descendiente) sea negro $(N)$ y marrón $(M)$ son:

$P(N)={\displaystyle \frac{3}{4}}P(M)={\displaystyle \frac{1}{4}}$

$\mathbf{\text{a)}}$ Como se quiere la probabilidad de que sea homocigótico sabiendo que ya se conoce su color (negro), se trata de una $\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{condicionada}}$. Usamos $P(B\mid A)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(A)}}$, que para invertir el condicionante se reescribe con el teorema de Bayes como $P(H_o\mid N)={\displaystyle \frac{P(N\mid H_o)P(H_o)}{P(N)}}$. En este caso, se pide la probabilidad del suceso $H_o$, sabiendo que ha salido negro:

$P(H_o\mid N)={\displaystyle \frac{P(N\mid H_o)P(H_o)}{P(N)}}={\displaystyle \frac{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}}{\frac{3}{4}}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$

Probabilidad que puede obtenerse directamente por la $\mathbf{\text{regla}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Laplace}}$ $P(A)={\displaystyle \frac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}}$, ya que si el ratón es negro, $N=\{BB,bB,Bb\}$, solo uno de los tres resultados (equiprobables) produce un ratón homocigótico (BB).

$\mathbf{\text{b)}}$ De nuevo es una $\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{condicionada}}$; como $H_{o}ltx$ y $ltx{H}_e$ son sucesos contrarios dentro de los ratones negros, también se puede usar la propiedad del suceso contrario $P(\bar{A})=1-P(A)$, es decir, $P(H_e\mid N)=1-P(H_o\mid N)$. Con un razonamiento similar al del apartado a, se obtiene que:

$P(H_e\mid N)={\displaystyle \frac{2}{3}}$