Ejercicio resuelto de Diagrama de árbol · Matemáticas I

Una familia consume leche de dos marcas diferentes $A$ y $B$. A partir de la primera compra, la probabilidad de que la familia cambie de marca es 0,7. Si la primera compra se realizó al azar lanzando una moneda al aire, calcula la probabilidad de que:

a) En tres compras consecutivas haya comprado dos veces la marca $A$.

b) En la tercera compra hayan adquirido la marca $B$.

c) Empezaran comprando la marca $A$ si en la tercera compra adquirieron la $B$.

Sea $A=$ "la familia compra marca $A$" y $B=$ "la familia compra marca $B$".

Como la primera compra se decide lanzando una moneda, $P(A)=P(B)=\mathrm{0,5}$. A partir de ahí, la probabilidad de cambiar de marca es $\mathrm{0,7}$, luego la de repetir la misma marca es $1-\mathrm{0,7}=\mathrm{0,3}$ (suceso contrario).

Por ejemplo, el suceso $ABA$ representa que en la 1.ª y 3.ª compra se adquirió la marca $A$ y en la 2.ª la marca $B$.

En el siguiente diagrama de árbol se contemplan las ocho situaciones posibles. La probabilidad de cada rama (camino) se obtiene multiplicando las probabilidades de cada paso, ya que son compras sucesivas: $P(X_1{X}_2{X}_3)=P(X_1)\cdot P(X_2\mid X_1)\cdot P(X_3\mid X_2)$.

$\mathbf{\text{a)}}$ Los caminos que contienen dos marcas $A$ son incompatibles entre sí, así que su probabilidad se suma (probabilidad de la unión de sucesos disjuntos): $P(C)=\sum P(\text{caminos favorables})$. La probabilidad del suceso $C=$ "se haya comprado 2 veces la marca $A$" es:

$P(C)=P(AAB)+P(ABA)+P(BAA)=$

$=\mathrm{0,5}\cdot \mathrm{0,3}\cdot \mathrm{0,7}+\mathrm{0,5}\cdot \mathrm{0,7}\cdot \mathrm{0,5}+\mathrm{0,5}\cdot \mathrm{0,3}\cdot \mathrm{0,5}=\mathrm{0,455}$

$\mathbf{\text{b)}}$ Aplicamos el mismo criterio: sumamos las probabilidades de todos los caminos (incompatibles) que terminan en $B$ (es la regla de la probabilidad total descompuesta por ramas del árbol). La probabilidad del suceso $D=$ "en la tercera compra hayan adquirido la marca $B$" es:

$P(D)=P(AAB)+P(ABB)+P(BAB)+P(BBB)=$

$=\mathrm{0,5}\cdot \mathrm{0,3}\cdot \mathrm{0,7}+\mathrm{0,5}\cdot \mathrm{0,7}\cdot \mathrm{0,7}+\mathrm{0,5}\cdot \mathrm{0,7}\cdot \mathrm{0,3}+\mathrm{0,5}\cdot \mathrm{0,3}\cdot \mathrm{0,3}=\mathrm{0,5}$

$\mathbf{\text{c)}}$ Nos piden una probabilidad condicionada (sabiendo que ya ocurrió $D$), por lo que usamos $P(F\mid D)={\displaystyle \frac{P(F\cap D)}{P(D)}}$, donde $F\cap D$ son los caminos que empiezan por $A$ y terminan en $B$. Sea $F=$ "la primera compra fue de la marca $A$", con $P(F)=\mathrm{0,5}$. Se pide la probabilidad del suceso $F$, sabiendo que ha ocurrido $D$:

$P(F\mid D)={\displaystyle \frac{P(F\cap D)}{P(D)}}={\displaystyle \frac{P(AAB)+P(ABB)}{P(D)}}={\displaystyle \frac{(\mathrm{0,3}\cdot \mathrm{0,7}+\mathrm{0,7}\cdot \mathrm{0,7})\cdot \mathrm{0,5}}{\mathrm{0,5}}}=\mathrm{0,42}$