Ejercicio resuelto de Diagrama de árbol · Matemáticas I

El 80 % de los trabajadores en educación que se jubilan suelen hacer una fiesta de despedida, también el 60 % de los trabajadores de justicia y el 30 % de los de sanidad. En el último año se jubilaron el mismo número de trabajadores en educación que en sanidad y el doble en educación que en justicia. Se sabe que a un trabajador elegido al azar entre estos tres sectores, no le hicieron fiesta. Calcula la probabilidad de que trabajase en justicia.

Sea $E=$ \"trabajadores de educación\", $J=$ \"trabajadores de justicia\", $S=$ \"trabajadores de sanidad\" y $D=$ \"trabajadores que recibieron una fiesta de despedida\".

En primer lugar fijamos las probabilidades de cada sector (probabilidades \"a priori\"). Como se jubilaron el mismo número en educación que en sanidad y el doble en educación que en justicia, las cantidades están en proporción $E:J:S=2:1:2$, es decir, $5$ partes en total. Por la regla de Laplace $P(A)={\displaystyle \frac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}}$, se tiene:

$P(E)={\displaystyle \frac{2}{5}}=\mathrm{0,4}P(J)={\displaystyle \frac{1}{5}}=\mathrm{0,2}P(S)={\displaystyle \frac{2}{5}}=\mathrm{0,4}$

Como nos dicen que al trabajador elegido NO le hicieron fiesta, trabajamos con el suceso contrario $\bar{D}$, usando $P(\bar{D}\mid X)=1-P(D\mid X)$ en cada sector:

$P(\bar{D}\mid E)=1-\mathrm{0,8}=\mathrm{0,2}P(\bar{D}\mid J)=1-\mathrm{0,6}=\mathrm{0,4}P(\bar{D}\mid S)=1-\mathrm{0,3}=\mathrm{0,7}$

En el diagrama de árbol se muestra la situación.

Vamos a calcular la probabilidad de que un trabajador NO recibiese una fiesta. Para ello aplicamos el $\mathbf{\text{teorema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{total}}$, que permite hallar la probabilidad de un suceso descomponiendo el espacio muestral en los sucesos $E$, $Jltx$ y $ltxS$ (que son incompatibles y cubren todos los casos):

$P(\bar{D})=P(\bar{D}\mid E)P(E)+P(\bar{D}\mid J)P(J)+P(\bar{D}\mid S)P(S)=$

$=\mathrm{0,2}\cdot \mathrm{0,4}+\mathrm{0,4}\cdot \mathrm{0,2}+\mathrm{0,7}\cdot \mathrm{0,4}=\mathrm{0,44}$

Como nos preguntan por la probabilidad de que trabajase en justicia SABIENDO que no le hicieron fiesta, debemos calcular una probabilidad condicionada \"hacia atrás\". Para ello aplicamos el $\mathbf{\text{teorema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Bayes}}$:

$P(J\mid \bar{D})={\displaystyle \frac{P(\bar{D}\mid J)P(J)}{P(\bar{D})}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,4}\cdot \mathrm{0,2}}{\mathrm{0,44}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,08}}{\mathrm{0,44}}}\approx \mathrm{0,18}$