Ejercicio resuelto de Diagrama de árbol · Matemáticas I

El 40 % de los teléfonos móviles que llegan para ser reparados a un servicio técnico están en garantía. De estos, un 7 % ya ha sido reparado antes mientras que el 25 % de los que no están en garantía ya fueron reparados en otra ocasión. Si elige un teléfono de este servicio técnico al azar, calcula la probabilidad de que:

a) Ya haya sido reparado anteriormente.

b) El teléfono esté en garantía si es la primera vez que llega al servicio técnico.

c) El teléfono no esté en garantía si se ha llevado anteriormente a reparar.

Se considera el suceso $G=$ "el teléfono móvil está en garantía" y su contrario $\bar{G}=$ "el teléfono móvil no está en garantía". Los sucesos $G$ y su contrario constituyen un sistema completo de sucesos, porque son incompatibles y su unión es todo el espacio muestral.

Además, sea el suceso $R=$ "el teléfono móvil ya ha sido reparado". Los datos del enunciado son probabilidades condicionadas: recordemos que $P(R\mid G)$ es la probabilidad de que el teléfono ya haya sido reparado supuesto que está en garantía. Así, se tiene que:

$P(G)=\mathrm{0,4}P(\bar{G})=\mathrm{0,6}P(R\mid G)=\mathrm{0,07}P(R\mid \bar{G})=\mathrm{0,25}$

Y, también, usando que el contrario cumple $P(\bar{R}\mid G)=1-P(R\mid G)$, resulta $P(\bar{R}\mid G)=\mathrm{0,93}$ y $P(\bar{R}\mid \bar{G})=\mathrm{0,75}$

$\mathbf{\text{a)}}$ Se pide la probabilidad del suceso $R$. Como conocemos las probabilidades de $R$ condicionadas a cada elemento del sistema completo $\{G,\bar{G}\}$, aplicamos el teorema de la probabilidad total, que afirma que $P(R)=P(R\mid G)P(G)+P(R\mid \bar{G})P(\bar{G})$. Sustituyendo:

$P(R)=P(R\mid G)P(G)+P(R\mid \bar{G})P(\bar{G})=\mathrm{0,07}\cdot \mathrm{0,4}+\mathrm{0,25}\cdot \mathrm{0,6}=\mathrm{0,178}$

$\mathbf{\text{b)}}$ Se pide la probabilidad de que el teléfono esté en garantía sabiendo que no ha sido reparado, es decir, $P(G\mid \bar{R})$. Como queremos "invertir" la condición (conocemos $P(\bar{R}\mid G)$ pero buscamos $P(G\mid \bar{R})$), usamos la regla de Bayes: $P(G\mid \bar{R})={\displaystyle \frac{P(\bar{R}\mid G)P(G)}{P(\bar{R})}}$, donde el denominador es $P(\bar{R})=1-P(R)$ por ser el contrario. Sustituyendo:

$P(G\mid \bar{R})={\displaystyle \frac{P(\bar{R}\mid G)P(G)}{P(\bar{R})}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,93}\cdot \mathrm{0,4}}{1-\mathrm{0,178}}}=\mathrm{0,45255}$

$\mathbf{\text{c)}}$ Ahora se pide $P(\bar{G}\mid R)$: la probabilidad de que no esté en garantía sabiendo que sí se ha reparado. De nuevo invertimos la condición, así que aplicamos la regla de Bayes: $P(\bar{G}\mid R)={\displaystyle \frac{P(R\mid \bar{G})P(\bar{G})}{P(R)}}$, usando en el denominador el valor de $P(R)$ calculado en el apartado a). Sustituyendo:

$P(\bar{G}\mid R)={\displaystyle \frac{P(R\mid \bar{G})P(\bar{G})}{P(R)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,25}\cdot \mathrm{0,6}}{\mathrm{0,178}}}=\mathrm{0,84270}$