Ejercicio resuelto de Diagrama de árbol · Matemáticas I

El 30 % de las pólizas de una compañía de seguros corresponde a seguros de vida y, el resto, a pólizas de seguros de hogar. Actualmente, en un 12 % de las pólizas de seguros de vida se producen retrasos en los pagos, mientras que ese porcentaje es del 6 % en el caso de los seguros de hogar. Si se elige al azar una póliza, calcula la probabilidad de que:

a) Corresponda a un seguro de hogar si se sabe que está al corriente de pago.

b) Esté al corriente de pago.

Los sucesos $V=$ "la póliza es de seguro de vida" y $H=$ "la póliza es de seguro de hogar" constituyen una partición del espacio muestral en este caso, con las probabilidades $P(V)=\mathrm{0,3}ltx$ y $ltxP(H)=\mathrm{0,7}$.

Sea el suceso $R=$ "la póliza retraso en el pago de la póliza". Su contrario $\bar{R}=$ "la póliza está al corriente de pago".

$P(R\mid V)=\mathrm{0,12}P(R\mid H)=\mathrm{0,08}$

Usamos la probabilidad del suceso contrario, $P(\bar{R})=1-P(R)$, aplicada a cada rama, ya que estar al corriente es lo contrario de tener retraso. Y, por tanto, $P(\bar{R}\mid V)=\mathrm{0,88}ltx$ y $ltxP(\bar{R}\mid H)=\mathrm{0,92}$

En el diagrama de árbol se muestra la situación.

$\mathbf{\text{a)}}$ Como $\{V,H\}$ es una partición del espacio muestral, la probabilidad del suceso $\bar{R}$ se obtiene mediante el teorema de la probabilidad total, que combina la probabilidad de $\bar{R}$ en cada rama con la probabilidad de la rama: $P(\bar{R})=P(\bar{R}\mid V)P(V)+P(\bar{R}\mid H)P(H)$.

$P(\bar{R})=P(\bar{R}\mid V)P(V)+P(\bar{R}\mid H)P(H)=\mathrm{0,88}\cdot \mathrm{0,3}+\mathrm{0,92}\cdot \mathrm{0,7}=\mathrm{0,908}$

$\mathbf{\text{b)}}$ Como conocemos la condicionada en sentido contrario, invertimos la condición con la regla de Bayes (que es la definición de probabilidad condicionada $P(H\mid \bar{R})={\displaystyle \frac{P(\bar{R}\cap H)}{P(\bar{R})}}$ escribiendo el numerador como $P(\bar{R}\mid H)P(H)$ y el denominador por probabilidad total):

$P(H\mid \bar{R})={\displaystyle \frac{P(\bar{R}\mid H)P(H)}{P(\bar{R})}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,92}\cdot \mathrm{0,7}}{\mathrm{0,908}}}=\mathrm{0,7093}$