Ejercicio resuelto de Diagrama de árbol · Matemáticas I

En un servicio técnico especializado en cámaras fotográficas, el $70\mathrm{\%}$ de las cámaras que se reciben son del modelo A, y el resto, del modelo B. El $95\mathrm{\%}$ de las cámaras del modelo A son reparadas, mientras que del modelo B solo se reparan el $80\mathrm{\%}$. Si la elige una cámara al azar:

a) Halla la probabilidad de que no se haya podido reparar.

b) Si se sabe que no ha sido reparada, ¿cuál es la probabilidad de que sea del modelo B?

Se consideran los sucesos $A=$ "la cámara es del modelo A" y $B=$ "la cámara es del modelo B", que constituyen un sistema completo de sucesos (son incompatibles y su unión es todo el espacio muestral). Sea $R=$ "la cámara es reparada".

Las probabilidades que se conocen son:

$P(A)=\mathrm{0,7}P(B)=\mathrm{0,3}P(R\mid A)=\mathrm{0,95}P(R\mid B)=\mathrm{0,8}$

La situación se puede representar en el siguiente diagrama de árbol.

a) Como $Altx$ y $ltxB$ forman un sistema completo de sucesos, se aplica el teorema de la probabilidad total, que permite calcular la probabilidad de un suceso sumando las probabilidades de llegar a él por cada rama del árbol:

$P(R)=P(R\mid A)\cdot P(A)+P(R\mid B)\cdot P(B)$

Sustituyendo los valores:

$P(R)=\mathrm{0,95}\cdot \mathrm{0,7}+\mathrm{0,8}\cdot \mathrm{0,3}=\mathrm{0,905}$

Para hallar la probabilidad de que NO se haya podido reparar, se usa la probabilidad del suceso contrario $P(\bar{R})=1-P(R)$, ya que "no reparar" es lo contrario de "reparar":

$P(\bar{R})=1-P(R)=1-\mathrm{0,905}=\mathrm{0,095}$

b) Se pide una probabilidad condicionada en la que se conoce el resultado final (no reparada) y se pregunta por la causa (modelo B); para invertir el condicionamiento se aplica el teorema de Bayes:

$P(B\mid \bar{R})={\displaystyle \frac{P(\bar{R}\mid B)\cdot P(B)}{P(\bar{R})}}$

Por el suceso contrario, la probabilidad de que una cámara del modelo B no se repare es $P(\bar{R}\mid B)=1-P(R\mid B)=1-\mathrm{0,8}=\mathrm{0,2}$. Sustituyendo:

$P(B\mid \bar{R})={\displaystyle \frac{\mathrm{0,2}\cdot \mathrm{0,3}}{\mathrm{0,095}}}=\mathrm{0,63158}$