Ejercicio resuelto de Diagrama de árbol · Matemáticas I

A la consulta de un médico acude una mujer que sospecha que está embarazada de solo unos pocos días. Después de un primer examen, el médico cree que la mujer está embarazada con probabilidad $\mathrm{0,7}$. Para confirmar su diagnóstico, el médico encarga un test que da negativo en el $3\mathrm{\%}$ de los casos en que la mujer está realmente embarazada. Por otro lado, el test da positivo en el $5\mathrm{\%}$ de los casos en los que la mujer no está embarazada. Calcula la probabilidad de que:

a) El test dé positivo.

b) La mujer esté realmente embarazada sabiendo que el test ha dado positivo.

Sean los sucesos $A=$ "la mujer está embarazada" y su contrario $\bar{A}=$ "la mujer no está embarazada".

Las probabilidades iniciales para estos sucesos son $P(A)=\mathrm{0,7}$, $P(\bar{A})=\mathrm{0,3}$.

Se considera el suceso $T=$ "el test da positivo" y su contrario $\bar{T}=$ "el test da negativo".

Se sabe que:

$P(\bar{T}\mid A)=\mathrm{0,03}P(T\mid \bar{A})=\mathrm{0,05}$

Como el test, dada una situación de la mujer, solo puede dar positivo o negativo, usamos que la probabilidad del suceso contrario es $P(\bar{B})=1-P(B)$ (aplicada dentro de cada condición). Por tanto, también se conoce que $P(T\mid A)=1-\mathrm{0,03}=\mathrm{0,97}$ y $P(\bar{T}\mid \bar{A})=1-\mathrm{0,05}=\mathrm{0,95}$.

a) Los sucesos $Altx$ y $ltx\bar{A}$ forman un sistema completo (la mujer está o no está embarazada), así que la probabilidad de que el test dé positivo se obtiene mediante el teorema de la probabilidad total, que reparte $P(T)$ según cada causa posible:

$P(T)=P(T\mid A)\cdot P(A)+P(T\mid \bar{A})\cdot P(\bar{A})$

Sustituyendo los valores:

$P(T)=\mathrm{0,97}\cdot \mathrm{0,7}+\mathrm{0,05}\cdot \mathrm{0,3}=\mathrm{0,694}$

b) Ahora se conoce el resultado del test (positivo) y se quiere la probabilidad de la causa (estar embarazada); por eso se usa el teorema de Bayes, que "invierte" la probabilidad condicionada $P(A\mid T)={\displaystyle \frac{P(T\mid A)\cdot P(A)}{P(T)}}$:

$P(A\mid T)={\displaystyle \frac{P(T\mid A)\cdot P(A)}{P(T)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,97}\cdot \mathrm{0,7}}{\mathrm{0,694}}}=\mathrm{0,9784}$