Ejercicio resuelto de Diagrama de árbol · Matemáticas I

Considera dos urnas. La primera con 5 bolas blancas y 6 verdes y la segunda con 4 bolas blancas y 3 verdes. Se tira la primera se extraen dos bolas al azar y se pasan a la segunda urna. Finalmente, de la segunda urna se extrae una bola al azar. Calcula la probabilidad de que:

a) La bola sea verde.

b) Las bolas que se han pasado de la primera urna a la segunda eran verdes, si la bola extraída de la segunda ha sido verde.

Sean $U_1=\{6V,5B\}ltx$ y $ltx{U}_2=\{3V,4B\}$ las dos urnas. De la urna $U_1$ se extraen dos bolas que se introducen en $U_2$.

Las bolas extraídas de la primera urna pueden ser $A$ = "las dos verdes", $B$ = "una blanca y una verde" y $C$ = "las dos blancas".

Para contar de cuántas formas se pueden elegir las bolas usamos las combinaciones, porque al extraer dos bolas a la vez NO importa el orden: $C_{m,n}={\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{m}{n}\right)}={\displaystyle \frac{m!}{n!(m-n)!}}$. La probabilidad de cada suceso se obtiene entonces con la regla de Laplace $P={\displaystyle \frac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}}$, donde los casos posibles son las $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{11}{2}\right)$ formas de elegir 2 bolas entre las 11 de $U_1$:

$P(A)={\displaystyle \frac{\left(\genfrac{}{}{0px}{}{6}{2}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0px}{}{11}{2}\right)}}={\displaystyle \frac{3}{11}}$

$P(B)={\displaystyle \frac{\left(\genfrac{}{}{0px}{}{6}{1}\right)\left(\genfrac{}{}{0px}{}{5}{1}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0px}{}{11}{2}\right)}}={\displaystyle \frac{6}{11}}$

$P(C)={\displaystyle \frac{\left(\genfrac{}{}{0px}{}{5}{2}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0px}{}{11}{2}\right)}}={\displaystyle \frac{2}{11}}$

En consecuencia, la segunda urna tiene tres posibles composiciones dependiendo del suceso $A$, $Bltx$ o $ltxC$ que haya ocurrido.

Si ocurre $A$, la composición de la segunda urna es $U_{2A}=\{5V,4B\}$.

Si ocurre $B$, la composición de la segunda urna es $U_{2B}=\{4V,5B\}$.

Si ocurre $C$, la composición de la segunda urna es $U_{2C}=\{3V,6B\}$.

a) Como los sucesos $A$, $Bltx$ y $ltxC$ forman un sistema completo (son las únicas posibilidades, incompatibles entre sí) y conocemos la probabilidad de extraer verde en cada caso, usamos el teorema de la probabilidad total $P(D)={\sum }_{i}P(D\mid H_i)P(H_i)$. Por la regla de Laplace, en cada composición $P(D\mid \cdot )={\displaystyle \frac{\text{bolas verdes}}{9}}$, ya que tras pasar 2 bolas la segunda urna tiene 9 bolas. Así, para $D$ = "la bola extraída de $U_2$ es verde":

$P(D)=P(D\mid A)P(A)+P(D\mid B)P(B)+P(D\mid C)P(C)={\displaystyle \frac{5}{9}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{11}}+{\displaystyle \frac{4}{9}}\cdot {\displaystyle \frac{6}{11}}+{\displaystyle \frac{3}{9}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{11}}={\displaystyle \frac{45}{99}}={\displaystyle \frac{5}{11}}$

b) Ahora nos piden la probabilidad de la causa ($A$, las dos pasadas eran verdes) sabiendo el efecto ($D$, la extraída fue verde); es decir, invertir la condición. Para ello usamos el teorema de Bayes $P(A\mid D)={\displaystyle \frac{P(D\mid A)P(A)}{P(D)}}$, donde el denominador es la probabilidad total $P(D)$ calculada en el apartado anterior:

$P(A\mid D)={\displaystyle \frac{P(D\mid A)P(A)}{P(D)}}={\displaystyle \frac{\frac{5}{9}\cdot \frac{3}{11}}{\frac{5}{11}}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$