Ejercicio resuelto de Diagrama de árbol · Matemáticas I

Una bolsa contiene dos monedas equilibradas. Una de las monedas tiene cara y cruz y la otra tiene dos caras. Se elige al azar una moneda de la bolsa y se lanza dos veces consecutivas, observándose dos caras. ¿Cuál es la probabilidad de que la moneda sea la de dos caras?

Sean los sucesos $A=\text{"la moneda elegida tiene cara y cruz"}$, $B=\text{"la moneda elegida tiene dos caras"}$ y $C=\text{"se obtienen dos caras en los dos lanzamientos"}$.

$\mathbf{\text{Probabilidades}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{elegir}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{moneda.}}$ Como hay dos monedas y se elige una al azar, las dos opciones son equiprobables, así que aplicamos la regla de Laplace $P={\displaystyle \frac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}}$:

$P(A)=P(B)={\displaystyle \frac{1}{2}}$

$\mathbf{\text{Probabilidades}}\mathbf{\text{condicionadas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{sacar}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{caras.}}$ Una vez elegida la moneda, los dos lanzamientos son independientes, por lo que la probabilidad de "dos caras" es el producto de las probabilidades de cada lanzamiento, $P(C\mid M)=p\cdot p$ siendo $p$ la probabilidad de cara con esa moneda:

$P(C\mid A)={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$

$P(C\mid B)=1\cdot 1=1$

La situación se puede representar mediante un diagrama de árbol.

$\mathbf{\text{Teorema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{total.}}$ Como $Altx$ y $ltxB$ forman un sistema completo de sucesos (elegir una u otra moneda), la probabilidad de $C$ se calcula con $P(C)=P(C\mid A)\cdot P(A)+P(C\mid B)\cdot P(B)$:

$P(C)=P(C\mid A)\cdot P(A)+P(C\mid B)\cdot P(B)={\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}+1\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{5}{8}}$

$\mathbf{\text{Teorema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Bayes.}}$ Nos piden la probabilidad de que la moneda sea la de dos caras sabiendo que ya han salido dos caras, es decir $P(B\mid C)$. Invertimos la condición con $P(B\mid C)={\displaystyle \frac{P(C\mid B)\cdot P(B)}{P(C)}}$:

$P(B\mid C)={\displaystyle \frac{P(C\mid B)\cdot P(B)}{P(C)}}={\displaystyle \frac{1\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}}{{\displaystyle \frac{5}{8}}}}={\displaystyle \frac{4}{5}}$