Ejercicio resuelto de Diagrama de árbol · Matemáticas I

En un polígono industrial se almacenan 30 000 latas de refresco procedentes de fábricas A, B y C a partes iguales. Se sabe que el año actual caducan 1800 latas de la fábrica A, 2400 latas de la fábrica B, y 3000, de la fábrica C. Se ha elegido una lata de refresco aleatoriamente y se ha visto que caduca en el año actual, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la fábrica A?

Como nos dicen que la lata elegida $\mathbf{\text{ya}}$ caduca y preguntamos por su procedencia, se trata de una probabilidad condicionada. Llamamos $A$ al suceso \"proceder de la fábrica A\" y $D$ al suceso \"caducar en el año actual\". Buscamos $P(A\mid D)$, que por la definición de probabilidad condicionada es

$P(A\mid D)={\displaystyle \frac{P(A\cap D)}{P(D)}}={\displaystyle \frac{\text{casos favorables (latas de A que caducan)}}{\text{casos posibles (latas que caducan)}}}$

Es decir, al saber que la lata caduca, el espacio muestral se reduce a las latas que caducan, y dentro de él contamos las favorables aplicando la regla de Laplace.

En el almacén hay 30 000 latas repartidas a partes iguales, por lo que de cada fábrica hay 10 000 latas. Las latas que caducan en el año actual y proceden de la fábrica A son 1800. Las latas que caducan en total son $1800+2400+3000=7200$.

$P(A\mid D)={\displaystyle \frac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}}={\displaystyle \frac{1800}{1800+2400+3000}}={\displaystyle \frac{1800}{7200}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$