Ejercicio resuelto de Diagrama de árbol · Matemáticas I

Antonio va a la compra dos días de cada cinco. A lo largo del tiempo, ha observado que la fruta está de oferta la mitad de los días que va a la compra y la mitad de los días que no va. Elegido un día al azar:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la fruta esté de oferta ese día?

b) Calcula la probabilidad de que ese día Antonio vaya a la compra y la compra si la fruta esté de oferta.

Se consideran los sucesos $A=\text{"Antonio va a la compra"}$ y su contrario $\bar{A}$, con $P(A)={\displaystyle \frac{2}{5}}$, $P(\bar{A})={\displaystyle \frac{3}{5}}$.

Además, sea $F=\text{"la fruta est}\acute{\text{a}}\text{ de oferta"}$. El enunciado da las probabilidades condicionadas $P(F\mid A)={\displaystyle \frac{1}{2}}ltx$ y $ltxP(F\mid \bar{A})={\displaystyle \frac{1}{2}}$ (la mitad de los días que va y la mitad de los que no va).

$\mathbf{\text{a)}}$ Como conocemos la probabilidad de $F$ según ocurra $A$ o su contrario $\bar{A}$ (que forman un sistema completo de sucesos), aplicamos el $\mathbf{\text{teorema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{total}}$:

$P(F)=P(F\mid A)\cdot P(A)+P(F\mid \bar{A})\cdot P(\bar{A})$

Sustituyendo los datos:

$P(F)={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{5}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{5}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$

$\mathbf{\text{b)}}$ Se pide la probabilidad de que vaya a la compra y la fruta esté de oferta, es decir, $P(A\cap F)$. Usamos la $\mathbf{\text{regla}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{producto}}$ (que se deduce de la probabilidad condicionada $P(F\mid A)={\displaystyle \frac{P(A\cap F)}{P(A)}}$):

$P(A\cap F)=P(A)\cdot P(F\mid A)$

Sustituyendo los datos:

$P(A\cap F)={\displaystyle \frac{2}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{1}{5}}$