Ejercicio resuelto de Diagrama de árbol · Matemáticas I

El 63 % de los usuarios de móvil en España tiene un smartphone. Entre los propietarios de este tipo de teléfono, el 77 % lo emplea para su conexión habitual a internet. Sin embargo, entre los propietarios de otro tipo de teléfono móvil solo el 8 % lo emplea para la conexión habitual a internet. Calcula la probabilidad de conectarse habitualmente a internet a través del teléfono móvil.

Se definen los sucesos $S=$ \"tener un smartphone\" y $A=$ \"conectarse habitualmente a internet a través del móvil\". Los sucesos $Sltx$ y $ltx\bar{S}$ (tener otro tipo de teléfono) forman una partición del espacio muestral, así que aplicaremos el $\mathbf{\text{teorema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{total}}$.

Primero identificamos las probabilidades a partir del enunciado. El 63 % tiene smartphone, luego $P(S)=\mathrm{0,63}$, y por la $\mathbf{\text{regla}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{suceso}}\mathbf{\text{contrario}}$, $P(\bar{S})=1-P(S)=1-\mathrm{0,63}=\mathrm{0,37}$.

Los porcentajes \"entre los propietarios de...\" son $\mathbf{\text{probabilidades}}\mathbf{\text{condicionadas}}$, $P(A\mid B)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(B)}}$, es decir, la probabilidad de conectarse sabiendo qué tipo de teléfono se tiene:

$P(A\mid S)=\mathrm{0,77},P(A\mid \bar{S})=\mathrm{0,08}$

El teorema de la probabilidad total nos permite obtener $P(A)$ combinando ambos casos de la partición, ponderando cada probabilidad condicionada por la probabilidad de su rama:

$P(A)=P(S)\cdot P(A\mid S)+P(\bar{S})\cdot P(A\mid \bar{S})$

Sustituyendo los valores:

$P(A)=\mathrm{0,63}\cdot \mathrm{0,77}+\mathrm{0,37}\cdot \mathrm{0,08}=\mathrm{0,5147}$