Ejercicio resuelto de Diagrama de árbol · Matemáticas I

El 30 % de los habitantes de una localidad son jubilados y el 20 % son estudiantes, mientras que el resto ni están jubilados ni son estudiantes. El 80 % de los jubilados, así como el 20 % de los estudiantes y el 40 % del resto de habitantes, son socios del club de fútbol local.

a) Elegido un habitante de esa localidad, calcula la probabilidad de que sea socio del club de fútbol.

b) Elegido un socio del club de fútbol, calcula la probabilidad de que sea jubilado.

c) Elegida al azar una persona que no es socio del club, ¿qué es más probable que sea jubilado o estudiante?

Se consideran los sucesos $J=$ "el habitante es jubilado", $E=$ "el habitante es estudiante", $R=$ "el habitante no es jubilado ni estudiante". Además, sea $C=$ "el habitante es socio del club de fútbol". Como $J$, $Eltx$ y $ltxR$ son incompatibles y cubren toda la población, forman un sistema completo de sucesos.

$P(J)=\mathrm{0,3}P(E)=\mathrm{0,2}P(R)=\mathrm{0,5}P(C\mid J)=\mathrm{0,8}P(C\mid E)=\mathrm{0,2}P(C\mid R)=\mathrm{0,4}$

$\mathbf{\text{a)}}$ Como la población queda repartida en los tres grupos incompatibles $J$, $Eltx$ y $ltxR$, se aplica el teorema de la probabilidad total, que combina la probabilidad de cada grupo con la probabilidad de ser socio dentro de él: $P(C)=P(J)\cdot P(C\mid J)+P(E)\cdot P(C\mid E)+P(R)\cdot P(C\mid R)$. En el diagrama de árbol se describe la situación.

$P(C)=P(J)\cdot P(C\mid J)+P(E)\cdot P(C\mid E)+P(R)\cdot P(C\mid R)=\mathrm{0,8}\cdot \mathrm{0,3}+\mathrm{0,2}\cdot \mathrm{0,2}+\mathrm{0,4}\cdot \mathrm{0,5}=\mathrm{0,48}$

$\mathbf{\text{b)}}$ Ahora se conoce el efecto (ser socio) y se pregunta por la causa (ser jubilado), por lo que se invierte la condición con el teorema de Bayes: $P(J\mid C)={\displaystyle \frac{P(C\mid J)\cdot P(J)}{P(C)}}$.

$P(J\mid C)={\displaystyle \frac{P(C\mid J)\cdot P(J)}{P(C)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,8}\cdot \mathrm{0,3}}{\mathrm{0,48}}}=\mathrm{0,5}$

$\mathbf{\text{c)}}$ Al condicionar a que la persona no es socio, se usa la definición de probabilidad condicionada $P(B\mid A)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(A)}}$ junto con la probabilidad del suceso contrario $P(\bar{C})=1-P(C)$. Se deben calcular las probabilidades $P(J\mid \bar{C})ltx$ y $ltxP(E\mid \bar{C})$ y compararlas:

$P(J\mid \bar{C})={\displaystyle \frac{P(J\cap \bar{C})}{P(\bar{C})}}={\displaystyle \frac{P(J)-P(J\cap C)}{1-P(C)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,3}-\mathrm{0,24}}{1-\mathrm{0,48}}}=\mathrm{0,1154}$

Donde $P(J\cap C)=P(C\mid J)\cdot P(J)=\mathrm{0,8}\cdot \mathrm{0,3}=\mathrm{0,24}$.

$P(E\mid \bar{C})={\displaystyle \frac{P(E\cap \bar{C})}{P(\bar{C})}}={\displaystyle \frac{P(E)-P(E\cap C)}{1-P(C)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,2}-\mathrm{0,04}}{1-\mathrm{0,48}}}=\mathrm{0,3077}$

Donde $P(E\cap C)=P(C\mid E)\cdot P(E)=\mathrm{0,2}\cdot \mathrm{0,2}=\mathrm{0,04}$.

De forma que si la persona elegida al azar no es socio del club de fútbol, entonces es más probable que sea estudiante que jubilado.