Ejercicio resuelto de Diagrama de árbol · Matemáticas I

Antonio va a la compra dos días de cada cinco. A lo largo del tiempo, ha observado que la fruta está de oferta la tercera parte de los días que va a la compra y la mitad de los días que no va. Elegido un día al azar:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la fruta esté de oferta ese día?

b) Calcula la probabilidad de que ese día Antonio vaya a la compra o la fruta esté de oferta.

Se consideran los sucesos $A=$ "Antonio va a la compra" y su contrario $\bar{A}$, con $P(A)={\displaystyle \frac{2}{5}}$ y $P(\bar{A})={\displaystyle \frac{3}{5}}$.

Además, sea $F=$ "la fruta está de oferta". Se sabe que $P(F\mid A)={\displaystyle \frac{1}{3}}$ y $P(F\mid \bar{A})={\displaystyle \frac{1}{2}}$

a) La probabilidad del suceso $F$ se obtiene mediante el teorema de la probabilidad total:

$P(F)=P(F\mid A)P(A)+P(F\mid \bar{A})P(\bar{A})={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{5}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{5}}={\displaystyle \frac{13}{30}}$

b) Se pide la probabilidad del suceso $A\cup F$, que se calcula:

$P(A\cup F)=P(A)+P(F)-P(A\cap F)=P(A)+P(F)-P(F\mid A)P(A)$

$P(A\cup F)={\displaystyle \frac{2}{5}}+{\displaystyle \frac{13}{30}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{5}}={\displaystyle \frac{7}{10}}$