Ejercicio resuelto de Diagrama de árbol · Matemáticas I

El número de vuelos que llegan a un aeropuerto por la mañana es 120, por la tarde, 150, y por la noche, 30. El porcentaje de vuelos que se retrasan por la mañana es del 2 %, por la tarde, del 4 %, y por la noche, de un 6 %.

a) Calcula la probabilidad de que se retrase un vuelo con destino a este aeropuerto.

b) Si un vuelo llegó con retraso a este aeropuerto, ¿cuál es la probabilidad de que fuera un vuelo nocturno?

Se consideran los sucesos $M=$ "el vuelo es de la mañana", $T=$ "el vuelo es de la tarde" y $N=$ "el vuelo es de la noche". Estos tres sucesos forman una partición del espacio muestral.

Además, sea $R=$ "el vuelo llega con retraso". El número total de vuelos es 300, de modo que:

$P(M)={\displaystyle \frac{120}{300}}={\displaystyle \frac{2}{5}}$ $P(T)={\displaystyle \frac{150}{300}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ $P(N)={\displaystyle \frac{30}{300}}={\displaystyle \frac{1}{10}}$

$P(R\mid M)=0,02$ $P(R\mid T)=0,04$ $P(R\mid N)=0,06$

El diagrama de árbol ilustra la situación:



a) Aplicando el teorema de la probabilidad total:

$P(R)=P(R\mid M)P(M)+P(R\mid T)P(T)+P(R\mid N)P(N)$

$P(R)=0,02\cdot {\displaystyle \frac{2}{5}}+0,04\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}+0,06\cdot {\displaystyle \frac{1}{10}}=0,034$

b) Mediante el teorema de Bayes:

$P(N\mid R)={\displaystyle \frac{P(R\mid N)P(N)}{P(R)}}={\displaystyle \frac{0,06\cdot 0,1}{0,034}}=0,1765$