Ejercicio resuelto de Diagrama de árbol · Matemáticas I

País Vasco, julio 19, opción A

Una caja tiene 3 monedas $R$, $L$ y $M$. La moneda $R$ es normal, la $L$ tiene cara por los dos lados y la $M$ está trucada, de forma que la probabilidad de salir cara es $1\mathrm{/}5$. Se tira una moneda elegida al azar.

a) Calcular la probabilidad que se obtenga cara.

b) Si ha salido cruz, ¿cuál es la probabilidad que sea la moneda $R$?

En la moneda $R$, la probabilidad de cara es:

$P(C\mathrm{/}R)={\displaystyle \frac{1}{2}}$

En la moneda $L$, la probabilidad de cara es:

$P(C\mathrm{/}L)=1$

En la moneda $M$, la probabilidad de cara es:

$P(C\mathrm{/}M)={\displaystyle \frac{1}{5}}$

La probabilidad de elegir cada moneda es la misma:

$P(R)=P(L)=P(M)={\displaystyle \frac{1}{3}}$

a) Por probabilidad total:

$P(C)=P(R)\cdot P(C\mathrm{/}R)+P(L)\cdot P(C\mathrm{/}L)+P(M)\cdot P(C\mathrm{/}M)$

$P(C)={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot 1+{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{5}}={\displaystyle \frac{17}{30}}$

Por tanto, la probabilidad de cruz es:

$P(X)=1-P(C)=1-{\displaystyle \frac{17}{30}}={\displaystyle \frac{13}{30}}$

b) Por probabilidad condicionada, usando Bayes:

$P(R\mathrm{/}X)={\displaystyle \frac{P(R)\cdot P(X\mathrm{/}R)}{P(X)}}$

$P(R\mathrm{/}X)={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}}{{\displaystyle \frac{13}{30}}}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{6}}}{{\displaystyle \frac{13}{30}}}}={\displaystyle \frac{5}{13}}$