Ejercicio resuelto de Diagrama de árbol · Matemáticas I

Madrid, julio 19, opción B

Un concesionario dispone de vehículos de baja y alta gama, siendo los de alta gama $1\mathrm{/}3$ de las existencias. Entre los de baja gama, la probabilidad de tener un defecto de fabricación que obligue a revisarlos durante el rodaje es del $1.6\mathrm{\%}$, mientras que para los de alta gama es del $0.9\mathrm{\%}$. En un control de calidad preventa, se elige al azar un vehículo para examinarlo.

a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que el vehículo elegido resulte defectuoso.

b) (1.5 puntos) Si se comprueba que el vehículo elegido es defectuoso, calcule la probabilidad de que sea de gama baja.

Sean los sucesos:

$A=$ vehículo de alta gama.

$B=$ vehículo de baja gama.

$D=$ vehículo con defecto.

Se conocen las siguientes probabilidades:

$P(A)={\displaystyle \frac{1}{3}}$

$P(B)={\displaystyle \frac{2}{3}}$

$P(D\mathrm{/}A)=0,009$

$P(D\mathrm{/}B)=0,016$

a) Por probabilidad total:

$P(D)=P(A)\cdot P(D\mathrm{/}A)+P(B)\cdot P(D\mathrm{/}B)$

$P(D)={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot 0,009+{\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot 0,016={\displaystyle \frac{41}{3000}}\approx 0,01366$

b) Por probabilidad condicionada:

$P(B\mathrm{/}D)={\displaystyle \frac{P(B)\cdot P(D\mathrm{/}B)}{P(D)}}$

$P(B\mathrm{/}D)={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot 0,016}{{\displaystyle \frac{41}{3000}}}}={\displaystyle \frac{32}{41}}\approx 0,78$