Ejercicio resuelto de Diagrama de árbol · Matemáticas I

Murcia, septiembre 19

El $60\mathrm{\%}$ de los coches de una marca se fabrican en su factoría de Valencia, el $25\mathrm{\%}$ en Madrid, y el resto en Lisboa. El $1\mathrm{\%}$ de los coches fabricados en Valencia tiene algún defecto de fabricación, mientras que para los coches fabricados en Madrid y en Lisboa estos porcentajes son del $0,5\mathrm{\%}$ y del $2\mathrm{\%}$, respectivamente.

a) [1 p.] Elegido al azar un coche de esa marca, calcule la probabilidad de que no sea defectuoso.

b) [1,5 p.] Si un coche de esa marca resulta ser defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado en Madrid?

Sean los sucesos:

$V=$ coche fabricado en Valencia.

$M=$ coche fabricado en Madrid.

$L=$ coche fabricado en Lisboa.

$D=$ coche con defecto.

Se conocen las siguientes probabilidades:

$P(V)=0,60$

$P(M)=0,25$

$P(L)=0,15$

$P(D\mathrm{/}V)=0,01$

$P(D\mathrm{/}M)=0,005$

$P(D\mathrm{/}L)=0,02$

a) Por probabilidad total, la probabilidad de que un coche sea defectuoso es:

$P(D)=P(V)\cdot P(D\mathrm{/}V)+P(M)\cdot P(D\mathrm{/}M)+P(L)\cdot P(D\mathrm{/}L)$

$P(D)=0,60\cdot 0,01+0,25\cdot 0,005+0,15\cdot 0,02=0,01025$

Por tanto, la probabilidad de que no sea defectuoso es:

$P(\bar{D})=1-P(D)=1-0,01025=0,98975$

b) Por probabilidad condicionada, usando Bayes:

$P(M\mathrm{/}D)={\displaystyle \frac{P(M)\cdot P(D\mathrm{/}M)}{P(D)}}$

$P(M\mathrm{/}D)={\displaystyle \frac{0,25\cdot 0,005}{0,01025}}=0,1220$

Por tanto, la probabilidad de que haya sido fabricado en Madrid es:

$12,2\mathrm{\%}$