Ejercicio resuelto de Diagrama de árbol · Matemáticas I

Murcia, junio 19, opción B

La probabilidad de que un determinado equipo de fútbol gane cuando juega en casa es ${\displaystyle \frac{2}{3}}$, y la probabilidad de que gane cuando juega fuera es ${\displaystyle \frac{2}{5}}$.

a) [1 p.] Sin saber dónde jugará el próximo partido, calcule la probabilidad de que gane.

b) [1,5 p.] Si ganó el último partido del campeonato, ¿cuál es la probabilidad de que jugara en casa?

Sean los sucesos:

$C=$ jugar en casa.

$F=$ jugar fuera.

$G=$ ganar.

Se conocen las siguientes probabilidades:

$P(C)=0,5$

$P(F)=0,5$

$P(G\mathrm{/}C)={\displaystyle \frac{2}{3}}$

$P(G\mathrm{/}F)={\displaystyle \frac{2}{5}}$

a) Por probabilidad total:

$P(G)=P(C)\cdot P(G\mathrm{/}C)+P(F)\cdot P(G\mathrm{/}F)$

$P(G)=0,5\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}+0,5\cdot {\displaystyle \frac{2}{5}}={\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{5}}={\displaystyle \frac{8}{15}}\approx 0,5333$

b) Por probabilidad condicionada:

$P(C\mathrm{/}G)={\displaystyle \frac{P(C)\cdot P(G\mathrm{/}C)}{P(G)}}$

$P(C\mathrm{/}G)={\displaystyle \frac{0,5\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}}{{\displaystyle \frac{8}{15}}}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{3}}}{{\displaystyle \frac{8}{15}}}}={\displaystyle \frac{5}{8}}=0,6250$