Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas I

Extremadura, junio 2019, opción B

Supongamos que en una población de Extremadura tienen una estatura que se distribuye según una normal de media $170\text{cm}$ y desviación típica $10\text{cm}$.

a) ¿Qué porcentaje de habitantes miden entre $170$ y $185\text{cm}$? (1 punto)

b) ¿A partir de qué altura están el $33\mathrm{\%}$ de los habitantes más altos? (1 punto)

Las estaturas se distribuyen normalmente: $X\sim N(170,10)$

Tipificamos usando el cambio:

$Z={\displaystyle \frac{X-\mu }{\sigma }}={\displaystyle \frac{X-170}{10}}$

a) Queremos calcular el porcentaje de habitantes que miden entre 170 y 185 cm:

$P(170<X<185)=P({\displaystyle \frac{170-170}{10}}<Z<{\displaystyle \frac{185-170}{10}})$

$P(170<X<185)=P(0<Z<1,5)$

$P(0<Z<1,5)=P(Z<1,5)-P(Z<0)$

$P(0<Z<1,5)=0,9332-0,5=0,4332$

Por tanto, el porcentaje de habitantes que miden entre 170 y 185 cm es:

$43,32\mathrm{\%}$

b) Hay que encontrar el valor $a$ tal que el 33% de los habitantes sean más altos que $a$.

$P(X>a)=0,33\Rightarrow P(X<a)=0,67$

Tipificamos:

$P(Z<{\displaystyle \frac{a-170}{10}})=0,67$

Buscamos en la tabla normal:

$P(Z<0,44)=0,67$

Entonces:

${\displaystyle \frac{a-170}{10}}=0,44$

$a-170=4,4$

$a=174,4$

Por tanto, el 33% de los habitantes más altos miden más de:

$174,4\text{ cm}$