Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas I

Murcia, junio 19, opción A

El tiempo de duración de las bombillas de una cierta marca, medido en horas, sigue una distribución normal de media $\mu$ y desviación típica $\sigma$. Se sabe que el $69,50\mathrm{\%}$ de las bombillas duran menos de $5061,2$ horas, y que el $16,60\mathrm{\%}$ de las bombillas duran más de $5116,4$ horas.

a) [1 p.] ¿Cuál es la probabilidad de que una bombilla de esta marca dure entre $5061,2$ y $5116,4$ horas?

b) [1,5 p.] Calcule la media y la desviación típica de esta distribución normal.

La distribución es normal: $X\sim N(\mu ,\sigma )$

Tipificamos usando el cambio:

$Z={\displaystyle \frac{X-\mu }{\sigma }}$

Se sabe que:

$P(X<5061,2)=0,6950$

$P(X>5116,4)=0,1660$

a) Como:

$P(X<5116,4)=1-P(X>5116,4)=1-0,1660=0,8340$

Entonces:

$P(5061,2<X<5116,4)=P(X<5116,4)-P(X<5061,2)$

$P(5061,2<X<5116,4)=0,8340-0,6950=0,1390$

b) Usamos los valores de la tabla normal.

Como:

$P(X<5061,2)=0,6950$

Entonces:

$P(Z<{\displaystyle \frac{5061,2-\mu }{\sigma }})=0,6950$

De la tabla:

${\displaystyle \frac{5061,2-\mu }{\sigma }}=0,51$

Por tanto:

$\mu +0,51\sigma =5061,2$

Como:

$P(X<5116,4)=0,8340$

Entonces:

$P(Z<{\displaystyle \frac{5116,4-\mu }{\sigma }})=0,8340$

De la tabla:

${\displaystyle \frac{5116,4-\mu }{\sigma }}=0,97$

Por tanto:

$\mu +0,97\sigma =5116,4$

Resolvemos el sistema:

$\{\begin{array}{l}\mu +0,51\sigma =5061,2\\ \mu +0,97\sigma =5116,4\end{array}$

Restamos las ecuaciones:

$0,46\sigma =55,2\Rightarrow \sigma =120$

Sustituimos:

$\mu +0,51\cdot 120=5061,2\Rightarrow \mu +61,2=5061,2\Rightarrow \mu =5000$

Por tanto:

$\mu =5000$ y $\sigma =120$