Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas I

País Vasco, julio 19, opción B

Los resultados obtenidos en una prueba realizada a 500 estudiantes se distribuyen normalmente con media 40 puntos y desviación típica 10 puntos.

a) ¿Qué porcentaje del alumnado tiene una puntuación entre 30 y 60 puntos?

b) ¿Cuántos estudiantes tienen una puntuación superior a 60 puntos?

La distribución es normal: $X\sim N(40,10)$

Tipificamos usando el cambio:

$Z={\displaystyle \frac{X-\mu }{\sigma }}={\displaystyle \frac{X-40}{10}}$

a) Queremos calcular el porcentaje de alumnado con puntuación entre 30 y 60 puntos:

$P(30<X<60)=P({\displaystyle \frac{30-40}{10}}<Z<{\displaystyle \frac{60-40}{10}})$

$P(30<X<60)=P(-1<Z<2)$

$P(-1<Z<2)=P(Z<2)-P(Z<-1)$

$P(-1<Z<2)=P(Z<2)-(1-P(Z<1))$

$P(-1<Z<2)=0,9772-(1-0,8413)=0,8185$

Por tanto, el porcentaje de alumnado con puntuación entre 30 y 60 puntos es:

$81,85\mathrm{\%}$

b) Para un estudiante:

$P(X>60)=P(Z>{\displaystyle \frac{60-40}{10}})=P(Z>2)$

$P(Z>2)=1-P(Z<2)=1-0,9772=0,0228$

Entre los 500 estudiantes:

$500\cdot 0,0228=11,4$

Por tanto, cabe esperar que aproximadamente $11$ o $12$ estudiantes tengan una puntuación superior a 60 puntos.