Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas I

Galicia, julio 19 opción B

Da respuesta a los apartados siguientes:

a) Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un mismo espacio muestral tales que $P(A)=0,2$, $P(B)=0,4$ y $P(A\cup B)=0,5$. Calcula $P(A)$, $P(B)$, $P(A\cap B)$. Razona si $A$ y $B$ son o no sucesos independientes.

b) La probabilidad de que un determinado jugador de fútbol marque gol desde el punto de penalti es $p=0,7$. Si lanza 5 penaltis, calcula las siguientes tres probabilidades: de que no marque ningún gol; de que marque por lo menos 2 goles; y de que marque 5 goles. Si lanza 2100 penaltis, calcula la probabilidad de que marque por lo menos 1450 goles. Se está asumiendo que los lanzamientos son sucesos independientes.

a) Se sabe que:

$P(A)=0,2$

$P(B)=0,4$

$P(A\cup B)=0,5$

Calculamos primero los complementarios:

$P(\bar{A})=1-P(A)=1-0,2=0,8$

$P(\bar{B})=1-P(B)=1-0,4=0,6$

Usamos la fórmula:

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

Sustituimos:

$0,5=0,2+0,4-P(A\cap B)$

$P(A\cap B)=0,1$

Ahora calculamos:

$P(\bar{A}\cup \bar{B})=P(\overline{A\cap B})=1-P(A\cap B)=1-0,1=0,9$

Para estudiar si son independientes:

$A$ y $B$ son independientes si $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

Pero:

$P(A)\cdot P(B)=0,2\cdot 0,4=0,08$

Como $0,1\mathrm{\ne }0,08$, los sucesos no son independientes.

b) Se trata de una distribución binomial:

$X\sim B(5,0,7)$

La probabilidad de marcar un penalti es:

$p=0,7$

La probabilidad de no marcar un penalti es:

$q=1-p=1-0,7=0,3$

La variable $X$ mide el número de penaltis que marca.

Probabilidad de que no marque ningún gol:

$P(X=0)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{5}{0}\right)\cdot 0,7^0\cdot 0,3^5=0,3^5=0,00243$

Probabilidad de que marque por lo menos 2 goles:

$P(X\ge 2)=1-(P(X=0)+P(X=1))$

$P(X\ge 2)=1-[\left(\genfrac{}{}{0px}{}{5}{0}\right)\cdot 0,7^0\cdot 0,3^5+\left(\genfrac{}{}{0px}{}{5}{1}\right)\cdot 0,7^1\cdot 0,3^4]$

$P(X\ge 2)=1-0,00243-5\cdot 0,7\cdot 0,0081=0,96922$

Probabilidad de que marque 5 goles:

$P(X=5)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{5}{5}\right)\cdot 0,7^5\cdot 0,3^0=0,7^5=0,16807$

Si lanza 2100 penaltis, la distribución es:

$X\sim B(2100,0,7)$

Como $n$ es grande, aproximamos mediante una normal.

La media es:

$\mu =n\cdot p=2100\cdot 0,7=1470$

La desviación típica es:

$\sigma =\sqrt{n\cdot p\cdot q}=\sqrt{2100\cdot 0,7\cdot 0,3}=21$

Por tanto:

$X\sim N(1470,21)$

Tipificamos usando el cambio:

$Z={\displaystyle \frac{X-\mu }{\sigma }}={\displaystyle \frac{X-1470}{21}}$

Queremos que marque por lo menos 1450 goles. Aplicamos corrección de continuidad:

$P(X\ge 1450)=P(X\ge 1449,5)$

$P(X\ge 1449,5)=P(Z\ge {\displaystyle \frac{1449,5-1470}{21}})=P(Z\ge -0,98)$

Por simetría:

$P(Z\ge -0,98)=P(Z<0,98)$

$P(Z<0,98)=0,8365$