Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas I

Se lanza 3 veces consecutivas un dado equilibrado. Calcula la probabilidad de:

a) Obtener al menos un uno.

b) Obtener un seis solo en el tercer lanzamiento.

Como en cada lanzamiento influye el orden (1.º, 2.º y 3.º) y los resultados pueden repetirse, el número de casos posibles es una variación con repetición: $V{R}_{m,n}=m^n$. Aquí $m=6$ caras y $n=3$ lanzamientos, así que $V{R}_{6,3}=6^3=216$.

Como el dado es equilibrado, todos los resultados son equiprobables y aplicamos la regla de Laplace: $P(A)={\displaystyle \frac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}}$.

$\mathbf{\text{a)}}$ Sea el suceso $A=$ \"obtener al menos un uno\" y su contrario $\bar{A}=$ \"no obtener ningún uno\". Como contar \"al menos uno\" es laborioso, usamos la probabilidad del suceso contrario: $P(A)=1-P(\bar{A})$.

Los resultados favorables a $\bar{A}$ (que en cada lanzamiento salga una de las 5 caras distintas del uno) son de nuevo una variación con repetición $V{R}_{5,3}=5^3=125$. Luego, por Laplace:

$P(\bar{A})={\displaystyle \frac{125}{216}}\Rightarrow P(A)=1-{\displaystyle \frac{125}{216}}={\displaystyle \frac{91}{216}}$

$\mathbf{\text{b)}}$ Sea el suceso $B=$ \"obtener un seis solo en el tercer lanzamiento\". El tercer lanzamiento queda fijo en seis, y en los dos primeros puede salir cualquier cara distinta del seis, lo que de nuevo es una variación con repetición $V{R}_{5,2}=5^2=25$ casos favorables. Por la regla de Laplace:

$P(B)={\displaystyle \frac{25}{216}}$