Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas I

Con las cifras 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8, se forman al azar números de 4 cifras distintas. Calcula la probabilidad de que el número sea par y mayor que 5000.

Como al formar el número importa el orden de las cifras (no es lo mismo 2345 que 5432) y, además, las cifras no se repiten, contamos con $\mathbf{\text{variaciones}}\mathbf{\text{ordinarias}}$ (variaciones sin repetición). Recordemos su fórmula:

$V_{m,n}={\displaystyle \frac{m!}{(m-n)!}}=m\cdot (m-1)\cdots (m-n+1)$

Disponemos de $m=7$ cifras y formamos números de $n=4$ cifras distintas, así que el número total de números posibles (resultados posibles) es:

$V_{7,4}=7\cdot 6\cdot 5\cdot 4=840$

Sea el suceso $A$ = "el número formado es par y mayor que 5000".

Para contar el número de resultados favorables al suceso $A$ fijamos las posiciones con condición (unidades y decenas de millar) y, para las dos posiciones centrales que quedan libres, volvemos a usar variaciones sin repetición. Tenemos en cuenta que:

- Hay 4 cifras pares que pueden ocupar la posición de las unidades: 2, 4, 6, 8.

- Hay 4 cifras que pueden ocupar la posición de las decenas de millar: 5, 6, 7, 8.

- Si la cifra de las unidades es 2 o 4, se dispone de las cuatro cifras (5, 6, 7, 8) para las unidades de millar y, por cada una de esas posibilidades, las dos posiciones centrales pueden ocuparse con las restantes cinco cifras, es decir, $V_{5,2}$ formas. En total:

$2\cdot 4\cdot V_{5,2}=160$

- Si la cifra de las unidades es 6 u 8, se dispone de tres cifras (5, 7, 6 o 5, 6, 7, respectivamente) para las decenas de millar y, por cada una de esas posibilidades, las dos posiciones centrales pueden ocuparse con las restantes cinco cifras, es decir, $V_{5,2}$ formas. En total:

$2\cdot 3\cdot V_{5,2}=120$

En total, el número de resultados favorables es $160+120=280$.

Finalmente, como todos los números posibles son equiprobables, aplicamos la $\mathbf{\text{regla}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Laplace}}$, que define la probabilidad de un suceso como el cociente entre casos favorables y casos posibles:

$P(A)={\displaystyle \frac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}}$

Sustituyendo para el suceso $A$:

$P(A)={\displaystyle \frac{280}{840}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$