Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas I

Sean $A$ y $B$ dos sucesos asociados a un experimento aleatorio. Prueba que:

a) Si $A$ y $B$ son independientes con $0<P(A)<1$, entonces $P(B\mid A)=P(B\mid \bar{A})$.

b) Y recíprocamente: si $P(B\mid A)=P(B\mid \bar{A})$, entonces $A$ y $B$ son independientes.

$\mathbf{\text{a)}}$ Recordamos las herramientas que vamos a usar: la $\mathbf{\text{definici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{independencia}}$, que dice que $Altx$ y $ltxB$ son independientes cuando $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$, lo que equivale a $P(B\mid A)=P(B)$; la $\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{condicionada}}$ $P(B\mid \bar{A})={\displaystyle \frac{P(B\cap \bar{A})}{P(\bar{A})}}$; la $\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{contrario}}$ $P(\bar{A})=1-P(A)$; y la descomposición de un suceso $P(B\cap \bar{A})=P(B)-P(B\cap A)$ (lo que ocurre en $B$ menos lo que ocurre a la vez en $A$). Usamos estas porque la independencia se traduce justo en igualdades de probabilidades condicionadas.

Si $Altx$ y $ltxB$ son independientes, por definición $P(B\mid A)=P(B)$ y además:

$P(B\mid \bar{A})={\displaystyle \frac{P(B\cap \bar{A})}{P(\bar{A})}}={\displaystyle \frac{P(B)-P(B\cap A)}{1-P(A)}}={\displaystyle \frac{P(B)-P(A)\cdot P(B)}{1-P(A)}}={\displaystyle \frac{P(B)\cdot (1-P(A))}{1-P(A)}}=P(B)$

La última igualdad es posible porque $0<P(A)<1\Rightarrow 1-P(A)\mathrm{\ne }0$.

$\mathbf{\text{b)}}$ Para el recíproco partimos de la hipótesis $P(B\mid A)=P(B\mid \bar{A})$ y aplicamos de nuevo la $\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{condicionada}}$ $P(B\mid A)={\displaystyle \frac{P(B\cap A)}{P(A)}}$ junto con $P(\bar{A})=1-P(A)$ y $P(B\cap \bar{A})=P(B)-P(A\cap B)$. El objetivo es llegar a la $\mathbf{\text{definici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{independencia}}$ $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$.

$P(B\mid A)=P(B\mid \bar{A})\Rightarrow {\displaystyle \frac{P(B\cap A)}{P(A)}}={\displaystyle \frac{P(B)-P(A\cap B)}{P(\bar{A})}}$

De donde se obtiene:

$P(B\cap A)\cdot (1-P(A))=P(A)\cdot (P(B)-P(A\cap B))$

Desarrollando y simplificando se llega a que:

$P(B\cap A)=P(B)\cdot P(A)$

Y, por tanto, los sucesos $Altx$ y $ltxB$ son independientes.