Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas I

Baleares, junio 19, opción A

Les alçades $X$ dels estudiants de 18 anys dels instituts de Palma es modelen segons una llei normal de mitjana $\mu =1.78\text{m}$ i desviació típica $\sigma =0.65\text{m}$. Es demana:

a) Percentatge d’estudiants de 18 anys dels instituts de Palma que fan més d’$1.90\text{m}$. (4 punts)

b) Agafam una mostra de 100 estudiants de 18 anys dels instituts de Palma i en volem seleccionar els 30 més alts. Quina és l’alçada mínima que ha de fer un estudiant de 18 anys dels instituts de Palma per ser seleccionat? (6 punts)

La normal será $N(178,65)$, en cm. Se tipifica haciendo el cambio $Z={\displaystyle \frac{X-178}{65}}$.

Por tanto, aplicando la $N(0,1)$ se obtiene:

a) En este caso:

$P(X>190)=P(Z>{\displaystyle \frac{190-178}{65}})=P(Z>0,1846)\approx 1-P(Z<0,185)=$

$=1-0,5733=0,4267$.

Esto indica que el $42,67\mathrm{\%}$ de los estudiantes de 18 años de ese instituto miden más de $190\text{cm}$. Como esta solución resulta absurda, habrá que suponer que hay un error en el dato de la desviación típica.

El valor de probabilidad $0,5733$ se obtiene interpolando, se ha hecho la media, entre $0,5714$ y $0,5753$ que son los valores correspondientes a $Z=0,18$ y $Z=0,19$, respectivamente.

b) Hay que encontrar la altura $x$ tal que $P(X>x)=0,30\Rightarrow P(X\le x)=0,70$.

Luego:

$P(Z<{\displaystyle \frac{x-178}{65}})=0,70\Rightarrow {\displaystyle \frac{x-178}{65}}\approx 0,525$, interpolando entre los valores de probabilidad correspondientes a $0,52$ y $0,53$,

$\Rightarrow x=0,525\cdot 65+178=212,125$.

La altura mínima para ser seleccionado será de $212\text{cm}$, nuevo resultado que sugiere error en el enunciado.