Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas I

Castilla y León, junio 19, opción A

Las notas de Matemáticas II de 500 alumnos presentados al examen de EBAU tienen una distribución normal con media $6,5$ y desviación típica $2$.

a) Calcule la probabilidad de que un alumno haya obtenido más de 8 puntos. (1 punto)

b) ¿Cuántos alumnos obtuvieron notas menores de 5 puntos? (1 punto)

Se trata de una distribución normal $X\sim N(6,5,2)$

Tipificamos usando el cambio:

$Z={\displaystyle \frac{X-\mu }{\sigma }}={\displaystyle \frac{X-6,5}{2}}$

a) Queremos calcular la probabilidad de que un alumno haya obtenido más de 8 puntos:

$P(X>8)=P(Z>{\displaystyle \frac{8-6,5}{2}})=P(Z>0,75)$

$P(Z>0,75)=1-P(Z<0,75)=1-0,7734=0,2266$

b) Queremos calcular cuántos alumnos obtuvieron notas menores de 5 puntos:

$P(X<5)=P(Z<{\displaystyle \frac{5-6,5}{2}})=P(Z<-0,75)$

$P(Z<-0,75)=1-P(Z<0,75)=1-0,7734=0,2266$

Como se presentaron 500 alumnos:

$500\cdot 0,2266=113,3$

Por tanto, obtuvieron notas menores de 5 puntos aproximadamente:

$113$ o $134$ alumnos.