Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas I

Galicia, junio 19 Opción B

Da respuesta a los apartados siguientes:

a) Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un mismo espacio muestral. Calcula $P(A)$ si $P(B)=0,8$, $P(A\cap B)=0,2$ y $P(A\cup B)$ es el triple de $P(A)$.

b) En un determinado lugar, la temperatura máxima durante el mes de julio sigue una distribución normal de media ${25}^{\circ }\text{C}$ y desviación típica $4^{\circ }\text{C}$. Calcula la probabilidad de que la temperatura máxima de un cierto día esté comprendida entre ${21}^{\circ }\text{C}$ y $27,2^{\circ }\text{C}$. ¿En cuántos días del mes se espera que la temperatura máxima permanezca dentro de ese rango?

a) Se sabe que:

$P(B)=0,8$

$P(A\cap B)=0,2$

Además:

$P(A\cup B)=3P(A)$

Usamos la fórmula:

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

Sustituimos:

$3P(A)=P(A)+0,8-0,2$

$3P(A)=P(A)+0,6$

$2P(A)=0,6$

$P(A)=0,3$

b) La temperatura máxima diaria sigue una distribución normal:

$X\sim N(25,4)$

Tipificamos usando el cambio:

$Z={\displaystyle \frac{X-\mu }{\sigma }}={\displaystyle \frac{X-25}{4}}$

Queremos calcular:

$P(21<X<27,2)$

$P(21<X<27,2)=P({\displaystyle \frac{21-25}{4}}<Z<{\displaystyle \frac{27,2-25}{4}})$

$P(21<X<27,2)=P(-1<Z<0,55)$

$P(-1<Z<0,55)=P(Z<0,55)-P(Z<-1)$

$P(-1<Z<0,55)=0,7088-(1-0,8413)=0,7088-0,1587=0,5501$

Como julio tiene 31 días:

$31\cdot 0,5501=17,05$

Por tanto, se espera que aproximadamente durante $17$ días la temperatura máxima permanezca dentro de ese rango.