Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas I

Islas Canarias, junio 19, opción A

En un banco se sabe que el tiempo de devolución de un préstamo de $18000\text{€}$ sigue una distribución normal de media $60$ meses y desviación típica $8$ meses. Se elige al azar un préstamo de $18000\text{€}$ realizado en dicho banco:

a) Calcular la probabilidad de que dicho préstamo se devuelva como mucho en $70$ meses. (0,75 puntos)

b) ¿Cuál es la probabilidad de que fuera devuelto, al menos en $4$ años? (0,75 puntos)

c) ¿Qué porcentaje de préstamos de $18000\text{€}$ del mismo banco se formalizan para ser devueltos entre los $4$ y los $6$ años? (1 punto)

El tiempo de devolución del préstamo se ajusta a una distribución normal:

$X\sim N(60,8)$

Tipificamos usando el cambio:

$Z={\displaystyle \frac{X-\mu }{\sigma }}={\displaystyle \frac{X-60}{8}}$

a) Queremos calcular la probabilidad de que el préstamo se devuelva como mucho en 70 meses:

$P(X<70)=P(Z<{\displaystyle \frac{70-60}{8}})$

$P(X<70)=P(Z<1,25)=0,8944$

b) 4 años son 48 meses. Queremos calcular la probabilidad de que el préstamo sea devuelto al menos en 4 años:

$P(X>48)=P(Z>{\displaystyle \frac{48-60}{8}})$

$P(X>48)=P(Z>-1,5)$

Por simetría:

$P(Z>-1,5)=P(Z<1,5)=0,9332$

c) Entre 4 y 6 años equivale a entre 48 y 72 meses.

$P(48<X<72)=P({\displaystyle \frac{48-60}{8}}<Z<{\displaystyle \frac{72-60}{8}})$

$P(48<X<72)=P(-1,5<Z<1,5)$

$P(-1,5<Z<1,5)=P(Z<1,5)-P(Z<-1,5)$

$P(-1,5<Z<1,5)=0,9332-0,0668=0,8664$

Por tanto, el porcentaje de préstamos que se formalizan para ser devueltos entre 4 y 6 años es:

$86,64\mathrm{\%}$