Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas I

Galicia, julio 19 opción A

Da respuesta a los apartados siguientes:

a) La probabilidad de que un chico recuerde regar su rosal durante una cierta semana es de ${\displaystyle \frac{2}{3}}$. Si se riega, el rosal sobrevive con probabilidad $0,7$; si no, lo hace con probabilidad $0,2$. Al finalizar la semana, el rosal ha sobrevivido. ¿Cuál es la probabilidad de que el chico no lo haya regado?

b) Una fábrica produce piezas cuyo grosor sigue una distribución normal de media $8\text{cm}$ y desviación típica $0,01\text{cm}$. Calcula la probabilidad de que una pieza tenga un grosor comprendido entre $7,98$ y $8,02\text{cm}$.

a) Sean $R$ y $nR$ los sucesos “regar” y “no regar” el rosal, respectivamente.

Sean $S$ y $nS$ los sucesos “sobrevivir” y “no sobrevivir” el rosal, respectivamente.

Se sabe que:

$P(R)={\displaystyle \frac{2}{3}}$

$P(nR)={\displaystyle \frac{1}{3}}$

$P(S\mathrm{/}R)=0,7$

$P(S\mathrm{/}nR)=0,2$

La probabilidad de que el rosal sobreviva es:

$P(S)=P(R)\cdot P(S\mathrm{/}R)+P(nR)\cdot P(S\mathrm{/}nR)$

$P(S)={\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot 0,7+{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot 0,2={\displaystyle \frac{16}{30}}\approx 0,5333$

Por probabilidad condicionada:

$P(nR\mathrm{/}S)={\displaystyle \frac{P(nR)\cdot P(S\mathrm{/}nR)}{P(S)}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot 0,2}{{\displaystyle \frac{16}{30}}}}={\displaystyle \frac{1}{8}}=0,125$

b) El grosor de la pieza sigue una distribución normal:

$X\sim N(8,0,01)$

Tipificamos usando el cambio:

$Z={\displaystyle \frac{X-\mu }{\sigma }}={\displaystyle \frac{X-8}{0,01}}$

Queremos calcular la probabilidad de que una pieza tenga un grosor entre $7,98$ y $8,02$ cm:

$P(7,98<X<8,02)=P({\displaystyle \frac{7,98-8}{0,01}}<Z<{\displaystyle \frac{8,02-8}{0,01}})$

$P(7,98<X<8,02)=P(-2<Z<2)$

$P(-2<Z<2)=P(Z<2)-P(Z<-2)$

$P(-2<Z<2)=P(Z<2)-(1-P(Z<2))$

$P(-2<Z<2)=0,9772-(1-0,9772)=0,9544$