Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas I

En los siguientes diagramas de Venn, obtén la parte coloreada mediante operaciones con sucesos.

a) Con tres sucesos $A$, $B$, $C$: la parte de $A$ que está fuera de $B$ y de $C$.

b) Con dos sucesos $A$, $B$: la zona común central.

c) Con tres sucesos $A$, $B$, $C$: la parte de $C$ exterior a $A$ y a $B$.

d) Con tres sucesos $A$, $B$, $C$, $D$: la zona indicada.

Este ejercicio se resuelve con el $\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{lgebra}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{sucesos}}$ (no con fórmulas de combinatoria ni de Laplace). Las operaciones que usamos para describir las regiones de un diagrama de Venn son: la $\mathbf{\text{intersecci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}$ $A\cap B$ (la zona que pertenece a la vez a $A$ y a $B$), el $\mathbf{\text{suceso}}\mathbf{\text{contrario}}$ $\bar{A}$ (lo que queda extit{fuera} de $A$) y la $\mathbf{\text{uni}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}$ $A\cup B$ (lo que pertenece a $A$, a $B$ o a ambos). La estrategia general es la misma en los cuatro casos: descomponer la región coloreada como $\mathbf{\text{uni}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{trozos}}\mathbf{\text{disjuntos}}\mathbf{\text{(sucesos}}\mathbf{\text{mutuamente}}\mathbf{\text{excluyentes)}}$ y describir cada trozo con intersecciones y contrarios, porque «estar dentro de un conjunto y fuera de otro» se traduce en intersecar con su contrario.

$\mathbf{\text{a)}}$ La parte de $A$ que queda fuera de $B$ y de $C$: «pertenecer a $A$» es $A$, y «estar fuera de $B$ y de $C$» se expresa intersecando con los contrarios $\bar{B}ltx$ y $ltx\bar{C}$. Expresándolo como unión de trozos disjuntos:

$(A\cap \bar{B})\cup (B\cap \bar{A}\cap \bar{C})$

$\mathbf{\text{b)}}$ La zona común central: «pertenecer a la vez a varios sucesos» se describe con la $\mathbf{\text{intersecci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}$, y lo que queda fuera de un suceso, con su contrario. Como unión de trozos disjuntos:

$(A\cap \bar{B})\cup (\bar{A}\cap \bar{B}\cap \bar{C})$

$\mathbf{\text{c)}}$ La parte de $C$ exterior a $A$ y a $B$: «pertenecer a $C$» y «estar fuera de $A$ y de $B$» se traduce en intersecar $C$ con los contrarios $\bar{A}ltx$ y $ltx\bar{B}$. Descompuesta en trozos disjuntos:

$(A\cap \bar{B}\cap \bar{C})\cup (A\cap \bar{B}\cap C)\cup (A\cap \bar{B}\cap \bar{C})$

$\mathbf{\text{d)}}$ La zona indicada: de nuevo, la $\mathbf{\text{uni}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}$ de los trozos disjuntos que la forman, describiendo cada uno con intersecciones (zona común) y contrarios (lo que queda fuera). Así:

$(A\cap D)\cup (B\cap C)\cup (A\cap \bar{B}\cap \bar{D})$