Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas I

Sean $A$ y $B$ dos sucesos incompatibles, con $P(A\cup B)>0$, demostrar que:

$P(B\mid A\cup B)={\displaystyle \frac{P(B)}{P(A)+P(B)}}$

Vamos a usar dos herramientas. Primero, la probabilidad de la unión de sucesos $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$, que para sucesos incompatibles se simplifica. Y después, la definición de probabilidad condicionada $P(B\mid M)={\displaystyle \frac{P(B\cap M)}{P(M)}}$, que aplicaremos tomando como suceso condicionante $M=A\cup B$.

$\mathbf{\text{Paso}}\mathbf{\text{1:}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{suceso}}\mathbf{\text{condicionante.}}$ Si $Altx$ y $ltxB$ son incompatibles, entonces $A\cap B=\mathrm{\varnothing }ltx$ y $ltxP(A\cap B)=0$. Por la fórmula de la unión:

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=P(A)+P(B)$.

$\mathbf{\text{Paso}}\mathbf{\text{2:}}\mathbf{\text{aplicamos}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{condicionada.}}$ Por la definición de probabilidad condicionada, con $M=A\cup B$, y como $B\cap (A\cup B)=B$ (pues $B$ está contenido en $A\cup B$), se tiene que:

$P(B\mid A\cup B)={\displaystyle \frac{P(B\cap (A\cup B))}{P(A\cup B)}}={\displaystyle \frac{P(B)}{P(A)+P(B)}}$