Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas I

Si $A$, $B$ y $C$ son tres sucesos asociados a un experimento aleatorio de modo que $B\subset C$: ¿$A$ prueba que: $P(\bar{A}\mid \bar{B})\ge P(\bar{A}\mid \bar{C})$?

Para comparar las dos probabilidades condicionadas conviene recordar dos herramientas:

$\mathbf{\text{1)}}\mathbf{\text{Paso}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{suceso}}\mathbf{\text{contrario}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{inclusi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n:}}$ si un suceso está contenido en otro, sus contrarios invierten la inclusión, es decir, $B\subset C\Rightarrow \bar{C}\subset \bar{B}$. Lo usamos porque el enunciado nos da $B\subset C$ y queremos relacionar $\bar{B}$ con $\bar{C}$.

$\mathbf{\text{2)}}\mathbf{\text{Probabilidad}}\mathbf{\text{condicionada:}}$ $P(\bar{A}\mid \bar{B})={\displaystyle \frac{P(\bar{A}\cap \bar{B})}{P(\bar{B})}}$ y $P(\bar{A}\mid \bar{C})={\displaystyle \frac{P(\bar{A}\cap \bar{C})}{P(\bar{C})}}$. La usamos porque debemos comparar dos condicionadas, así que las escribimos según su definición.

Partimos de la inclusión de contrarios:

$B\subset C\Rightarrow \bar{C}\subset \bar{B}$

De aquí, por la monotonía de la probabilidad (todo suceso contenido en otro tiene menor o igual probabilidad), se deduce $P(\bar{C})\le P(\bar{B})$, y además $\bar{A}\cap \bar{C}\subset \bar{A}\cap \bar{B}$, luego $P(\bar{A}\cap \bar{C})\le P(\bar{A}\cap \bar{B})$.

Utilizando una de las leyes de De Morgan y las propiedades de la probabilidad:

$P(\bar{A}\cup \overline{B\cap C})\ge P(\bar{A}\cup \bar{C})\Rightarrow P(\bar{A})+P(\bar{B}\cap C)\ge P(\bar{A})+P(\bar{C})$

Puesto que $P(\bar{B}\cap \bar{C})\ge 0$, se concluye que $P(\bar{A}\mid \bar{B})\ge P(\bar{A}\mid \bar{C})$.