Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas I

Si $A$ y $B$ son dos sucesos cualesquiera asociados a un experimento aleatorio, prueba que:

$P(A\cap B)\ge 1-P(\bar{A})-P(\bar{B})$

Para demostrar la desigualdad usaremos dos propiedades de la probabilidad. La primera es la probabilidad de la unión de dos sucesos: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$. La segunda es que toda probabilidad está acotada por $1$, es decir, $P(A\cup B)\le 1$. Además, al final aplicaremos la propiedad del suceso contrario $P(\bar{A})=1-P(A)$, equivalentemente $P(A)=1-P(\bar{A})$, para reescribir el resultado.

Es suficiente con tener en cuenta que $P(A\cup B)\le 1$ y que entonces:

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\le 1\Rightarrow P(A)+P(B)-1\le P(A\cap B)\Rightarrow P(A\cap B)\ge P(A)+P(B)-1=1-P(\bar{A})-P(\bar{B})$