Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas I

Asturias, julio 19, opción B

Las calificaciones de un examen en una clase siguen una distribución normal de media $\mu =20$ y desviación típica $\sigma =10$. Calcula:

a) La probabilidad de que un alumno obtenga una calificación entre 15 y 25. (1,25 puntos)

b) La calificación que sólo superan o igualan el $20\mathrm{\%}$ de los alumnos. (1,25 puntos)

Algunos valores de la función de distribución de la distribución normal de media 0 y desviación típica 1:

$F(x)=P(Z\le x)$, $F(-0,8416)=0,2$, $F(0,8416)=0,8$, $F(0,4)=0,6554$, $F(0,5)=0,6915$, $F(0,6)=0,7257$

La variable aleatoria $X$ sigue una distribución normal:

$X\sim N(20,10)$

Tipificamos con el cambio:

$Z={\displaystyle \frac{X-20}{10}}$

a) Queremos calcular la probabilidad de obtener una calificación entre 15 y 25:

$P(15\le X\le 25)=P(X\le 25)-P(X\le 15)$

$P(15\le X\le 25)=P(Z<{\displaystyle \frac{25-20}{10}})-P(Z<{\displaystyle \frac{15-20}{10}})$

$P(15\le X\le 25)=P(Z<0,5)-P(Z<-0,5)$

$P(15\le X\le 25)=0,6915-(1-0,6915)=0,6915-0,3085=0,3830$

b) Queremos encontrar la calificación $C$ tal que solo la superen el 20% de los alumnos:

$P(X>C)=0,20\Rightarrow P(X\le C)=0,80$

Buscamos en la tabla normal el valor que deja a la izquierda una probabilidad de $0,80$:

$P(Z<0,8416)=0,80$

Entonces:

$P(Z<{\displaystyle \frac{C-20}{10}})=0,80\Rightarrow {\displaystyle \frac{C-20}{10}}=0,8416$

$C=0,8416\cdot 10+20=28,416$