Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas I

Baleares, julio 19, opción A

El pes dels adults de 40 anys d’una certa comunitat es modela amb una distribució normal de mitjana $\mu =85\text{kg}$ i desviació típica $\sigma =15\text{kg}$. Ens demanen:

a) Quin percentatge de la població té sobrepès? Entenem que una persona adulta de 40 anys té sobrepès si pesa més de $100\text{kg}$. (4 punts)

b) Consideram el col·lectiu dels individus més prims de la comunitat. Si ens diuen que aquest col·lectiu representa el $40\mathrm{\%}$ de tots els individus de la comunitat, quin és el pes màxim d’un individu del col·lectiu? (6 punts)

Se trata de una distribución normal: $X\sim N(85,15)$

Tipificamos usando el cambio:

$Z={\displaystyle \frac{X-\mu }{\sigma }}={\displaystyle \frac{X-85}{15}}$

a) Queremos calcular el porcentaje de adultos con sobrepeso, es decir, con peso superior a 100 kg:

$P(X>100)=P(Z>{\displaystyle \frac{100-85}{15}})=P(Z>1)$

$P(Z>1)=1-P(Z<1)=1-0,8413=0,1587$

Por tanto, el porcentaje de adultos con sobrepeso es:

$15,87\mathrm{\%}$

b) Queremos calcular el peso máximo del 40% de los individuos más delgados.

Buscamos $x$ tal que:

$P(X<x)=0,40$

Tipificamos:

$P(Z<{\displaystyle \frac{x-85}{15}})=0,40$

Como $P(Z<0,254)\approx 0,60$, entonces:

$P(Z<-0,254)\approx 0,40$

Por tanto:

${\displaystyle \frac{x-85}{15}}\approx -0,254$

$x-85\approx -0,254\cdot 15$

$x\approx 85-3,81=81,2$

Por tanto, el peso máximo de ese colectivo es aproximadamente:

$81,2\text{ kg}$