Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas I

Comprueba que si $A$ y $B$ son dos sucesos independientes asociados a un experimento aleatorio, se verifica que:

a) $P(A\cap \bar{B})=1-P(\bar{A})\cdot P(B)$

b) $P(\bar{A}\cap B)=P(A)+P(B)\cdot P(\bar{A})$

$\mathbf{\text{a)}}$ Recordamos las propiedades que vamos a usar. Por ser $Altx$ y $ltxB$ sucesos independientes se cumple $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$, y entonces $A$ también es independiente con $\bar{B}$, de modo que $P(A\cap \bar{B})=P(A)\cdot P(\bar{B})$. Usaremos además la probabilidad de la unión, $P(A\cup \bar{B})=P(A)+P(\bar{B})-P(A\cap \bar{B})$, y la del suceso contrario, $P(\bar{B})=1-P(B)$. Combinando estas propiedades:

$P(A\cup \bar{B})=P(A)+P(\bar{B})-P(A\cap \bar{B})=P(A)+P(\bar{B})-P(A)\cdot P(\bar{B})=P(A)+1-P(B)-P(A)\cdot (1-P(B))=1-P(B)+P(A)\cdot P(B)$

$=1-P(B)\cdot (1-P(A))=1-P(B)\cdot P(\bar{A})=1-P(\bar{A})\cdot P(B)$

$\mathbf{\text{b)}}$ De nuevo partimos de las mismas herramientas: la probabilidad de la unión $P(\bar{A}\cup B)=P(\bar{A})+P(B)-P(\bar{A}\cap B)$, la independencia de $\bar{A}ltx$ y $ltxB$ (que implica $P(\bar{A}\cap B)=P(\bar{A})\cdot P(B)$) y el suceso contrario $P(\bar{A})=1-P(A)$. Aplicando estas propiedades:

$P(\bar{A}\cup B)=P(\bar{A})+P(B)-P(\bar{A}\cap B)=P(\bar{A})+P(B)-P(\bar{A})\cdot P(B)=P(A)+P(B)\cdot (1-P(\bar{A}))=P(A)+P(B)\cdot P(\bar{A})$