Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas I

Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un experimento aleatorio tales que $P(A)=\mathrm{0,2}$ y $P(B)=\mathrm{0,4}$.

a) Si $A$ y $B$ son mutuamente excluyentes, determina $P(A\cap B)$. ¿Son además $A$ y $B$ independientes? Razónalo.

b) Si $A$ y $B$ son independientes, calcula $P(A\cap B)$. ¿Son $A$ y $B$ además mutuamente excluyentes? Razona tu respuesta.

c) Si $P(B\mid A)=\mathrm{0,4}$, calcula $P(A\cap B)$. ¿Son $A$ y $B$ mutuamente excluyentes? ¿Son $A$ y $B$ independientes? Razónalo.

d) Si $A\subset B$, calcula $P(A\cap B)$. ¿Son $A$ y $B$ independientes? Razona la respuesta.

$\mathbf{\text{a)}}$ Recordemos la propiedad: dos sucesos son $\mathbf{\text{mutuamente}}\mathbf{\text{excluyentes}}\mathbf{\text{(incompatibles)}}$ cuando no pueden ocurrir a la vez, es decir, $A\cap B=\mathrm{\varnothing }$, y entonces $P(A\cap B)=0$. Aplicándola aquí:

$P(A\cap B)=0$

Para estudiar la independencia usamos su definición: $Altx$ y $ltxB$ son $\mathbf{\text{independientes}}$ si y solo si $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$. Comprobamos si se cumple:

$P(A)\cdot P(B)=\mathrm{0,2}\cdot \mathrm{0,4}=\mathrm{0,08}$

Como $P(A\cap B)=0\mathrm{\ne }\mathrm{0,08}=P(A)\cdot P(B)$, los sucesos $Altx$ y $ltxB$ $\mathbf{\text{no}}$ son independientes.

$\mathbf{\text{b)}}$ Usamos ahora la definición de independencia, que nos da directamente la probabilidad de la intersección: si $Altx$ y $ltxB$ son $\mathbf{\text{independientes}}$, entonces $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$. Por tanto:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)=\mathrm{0,2}\cdot \mathrm{0,4}=\mathrm{0,08}$

Para que fueran mutuamente excluyentes debería ser $P(A\cap B)=0$. Como $P(A\cap B)=\mathrm{0,08}\mathrm{\ne }0$, $Altx$ y $ltxB$ $\mathbf{\text{no}}$ son mutuamente excluyentes.

$\mathbf{\text{c)}}$ Partimos de la definición de $\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{condicionada}}$, $P(B\mid A)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(A)}}$, de la que, despejando, obtenemos la probabilidad de la intersección $P(A\cap B)=P(B\mid A)\cdot P(A)$. Sustituyendo:

$P(A\cap B)=P(B\mid A)\cdot P(A)=\mathrm{0,4}\cdot \mathrm{0,2}=\mathrm{0,08}$

Como $P(A\cap B)=\mathrm{0,08}\mathrm{\ne }0$, $Altx$ y $ltxB$ $\mathbf{\text{no}}$ son mutuamente excluyentes. Para estudiar la independencia comprobamos la definición $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$: aquí $P(A)\cdot P(B)=\mathrm{0,2}\cdot \mathrm{0,4}=\mathrm{0,08}$, que coincide con $P(A\cap B)=\mathrm{0,08}$. Por tanto, $Altx$ y $ltxB$ $\mathbf{\text{s}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}$ son independientes (lo que también se aprecia en que $P(B\mid A)=\mathrm{0,4}=P(B)$).

$\mathbf{\text{d)}}$ Usamos la propiedad de la inclusión de sucesos: si $A\subset B$, todo resultado de $A$ está también en $B$, luego $A\cap B=A$ y, en consecuencia, $P(A\cap B)=P(A)$. Así:

$P(A\cap B)=P(A)=\mathrm{0,2}$

Aplicamos de nuevo la definición de independencia $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$: como $P(A)\cdot P(B)=\mathrm{0,2}\cdot \mathrm{0,4}=\mathrm{0,08}ltx$ y $ltxP(A\cap B)=\mathrm{0,2}\mathrm{\ne }\mathrm{0,08}$, los sucesos $\mathbf{\text{no}}$ son independientes. Puede comprobarse, además, que $P(B\mid A)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(A)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,2}}}=1$.