Ejercicio resuelto de Distribución binomial · Matemáticas I

Asturias, junio 19, opción A

Un monitor de tenis compra un cañón para lanzar bolas. En las especificaciones del cañón se indica que falla el lanzamiento el $10\mathrm{\%}$ de las veces.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que, de 20 bolas lanzadas, se tengan exactamente 5 fallos? (1,25 puntos)

b) ¿Cuál es la probabilidad de que como mucho falle 2 veces de los 20 lanzamientos? (1,25 puntos)

Nota: Se pueden dejar indicadas las operaciones en potencias, sin necesidad de realizarlas.

La variable aleatoria $X$ mide las veces que falla el cañón en 20 lanzamientos.

Como la probabilidad de fallo es $p=0,10$, entonces la probabilidad de acierto es:

$q=1-p=1-0,10=0,90$

Por tanto:

$X\sim B(20,0,10)$

a) Queremos que exactamente 5 lanzamientos sean fallos:

$P(X=5)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{20}{5}\right)\cdot 0,{10}^5\cdot 0,{90}^{15}$

$P(X=5)=15504\cdot 0,00001\cdot 0,205891=0,03192$

b) Queremos que como mucho 2 lanzamientos sean fallos:

$P(X\le 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)$

$P(X\le 2)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{20}{0}\right)\cdot 0,{10}^0\cdot 0,{90}^{20}+\left(\genfrac{}{}{0px}{}{20}{1}\right)\cdot 0,{10}^1\cdot 0,{90}^{19}+\left(\genfrac{}{}{0px}{}{20}{2}\right)\cdot 0,{10}^2\cdot 0,{90}^{18}$

$P(X\le 2)=0,{90}^{20}+20\cdot 0,10\cdot 0,{90}^{19}+190\cdot 0,01\cdot 0,{90}^{18}=0,67693$