Ejercicio resuelto de Distribución binomial · Matemáticas I

Extremadura, julio 2019, opción B

Se estima que el $40\mathrm{\%}$ de los alumnos que comienzan un grado de ingeniería acaban obteniendo el grado. Si se elige al azar a 5 alumnos que comenzaron una ingeniería, calcule:

(a) La probabilidad de que los 5 alumnos obtengan el grado de ingeniero. (0,75 puntos)

(b) La probabilidad de que como máximo 2 obtengan el grado de ingeniero. (0,75 puntos)

(c) La media y la desviación típica de la distribución. (0,5 puntos)

Se trata de una distribución binomial: $X\sim B(5,0,4)$

La probabilidad de que un alumno acabe el grado es:

$p=0,4$

La probabilidad de que un alumno no acabe el grado es:

$q=1-p=1-0,4=0,6$

La variable $X$ mide el número de alumnos que obtienen el grado.

a) Queremos que los 5 alumnos obtengan el grado:

$P(X=5)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{5}{5}\right)\cdot 0,4^5\cdot 0,6^0$

$P(X=5)=0,4^5=0,01024$

b) Queremos que como máximo 2 alumnos obtengan el grado:

$P(X\le 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)$

$P(X\le 2)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{5}{0}\right)\cdot 0,4^0\cdot 0,6^5+\left(\genfrac{}{}{0px}{}{5}{1}\right)\cdot 0,4^1\cdot 0,6^4+\left(\genfrac{}{}{0px}{}{5}{2}\right)\cdot 0,4^2\cdot 0,6^3$

$P(X\le 2)=1\cdot 0,07776+5\cdot 0,05184+10\cdot 0,03456=0,68256$

c) La media de una distribución binomial es:

$\mu =n\cdot p$

$\mu =5\cdot 0,4=2$

La desviación típica de una distribución binomial es:

$\sigma =\sqrt{n\cdot p\cdot q}$

$\sigma =\sqrt{5\cdot 0,4\cdot 0,6}=\sqrt{1,2}\approx 1,1$