Ejercicio resuelto de Distribución binomial · Matemáticas I

Madrid, junio 19, opción A

La probabilidad de que un pez de una determinada especie sobreviva más de 5 años es del $10\mathrm{\%}$. Se pide:

a) (1 punto) Si en un acuario tenemos 10 peces de esta especie nacidos este año, hallar la probabilidad de que al menos dos de ellos sigan vivos dentro de 5 años.

b) (1.5 puntos) Si en un tanque de una piscifactoría hay 200 peces de esta especie nacidos este mismo año, usando una aproximación mediante la distribución normal correspondiente, hallar la probabilidad de que al cabo de 5 años hayan sobrevivido al menos 10 de ellos.

a) El experimento puede estudiarse como una binomial, con $n=10$ y $p=0,1$.

$X$ mide el número de peces que siguen vivos después de 5 años.

Por tanto:

$X\sim B(10,0,1)$

Queremos calcular la probabilidad de que al menos dos sigan vivos:

$P(X\ge 2)=1-P(X=0)-P(X=1)$

$P(X\ge 2)=1-\left(\genfrac{}{}{0px}{}{10}{0}\right)\cdot 0,1^0\cdot 0,9^{10}-\left(\genfrac{}{}{0px}{}{10}{1}\right)\cdot 0,1^1\cdot 0,9^9$

$P(X\ge 2)=1-0,9^{10}-10\cdot 0,1\cdot 0,9^9$

$P(X\ge 2)=1-0,3486-0,3874=0,264$

b) Ahora estudiamos la binomial:

$X\sim B(200,0,1)$

Como $n$ es grande, aproximamos mediante una normal.

La media es:

$\mu =n\cdot p=200\cdot 0,1=20$

La desviación típica es:

$\sigma =\sqrt{n\cdot p\cdot q}=\sqrt{200\cdot 0,1\cdot 0,9}=4,24$

Por tanto:

$X\sim N(20,4,24)$

Tipificamos usando el cambio:

$Z={\displaystyle \frac{X-\mu }{\sigma }}={\displaystyle \frac{X-20}{4,24}}$

Queremos calcular la probabilidad de que al menos 10 sigan vivos.

Aplicamos corrección de continuidad:

$P(X\ge 10)=P(X>9,5)$

$P(X>9,5)=P(Z>{\displaystyle \frac{9,5-20}{4,24}})$

$P(X>9,5)=P(Z>-2,48)$

Por simetría:

$P(Z>-2,48)=P(Z<2,48)=0,9934$