Ejercicio resuelto de Distribución binomial · Matemáticas I

Aragón, septiembre 2019

Un juego de ruleta tiene 25 casillas numeradas del 1 al 25. Un jugador gana si sale 2 o múltiplo de 2.

a) (0,75 puntos) Si juega 100 veces, calcule la probabilidad de que gane exactamente 10 veces. En este apartado, NO es necesario finalizar los cálculos, puede dejarse indicada la probabilidad, precisando los números que la definen.

b) (0,75 puntos) Si juega 200 veces, calcule la probabilidad de que gane entre 90 y 110 veces, ambos valores incluidos.

De las 25 casillas numeradas del 1 al 25, hay 12 casillas que son 2 o múltiplo de 2.

Por tanto:

$P(\text{ganar})={\displaystyle \frac{12}{25}}=0,48$

$P(\text{perder})=1-0,48=0,52$

a) La variable aleatoria $X$ mide el número de veces que se gana en 100 jugadas.

Entonces:

$X\sim B(100,0,48)$

La probabilidad de que gane exactamente 10 veces es:

$P(X=10)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{100}{10}\right)\cdot 0,{48}^{10}\cdot 0,{52}^{90}$

$P(X=10)=3,0975\cdot {10}^{-16}$

Es una probabilidad prácticamente imposible.

b) Como ahora se juega 200 veces, usamos la aproximación normal a la binomial.

$X\sim B(200,0,48)$

La media es:

$\mu =n\cdot p=200\cdot 0,48=96$

La desviación típica es:

$\sigma =\sqrt{n\cdot p\cdot q}=\sqrt{200\cdot 0,48\cdot 0,52}=7,06$

Por tanto:

$X\sim N(96,7,06)$

Queremos calcular:

$P(90\le X\le 110)$

Aplicamos la corrección de continuidad:

$P(90\le X\le 110)=P(89,5<X<110,5)$

Tipificamos:

$Z={\displaystyle \frac{X-\mu }{\sigma }}={\displaystyle \frac{X-96}{7,06}}$

Entonces:

$P(89,5<X<110,5)=P({\displaystyle \frac{89,5-96}{7,06}}<Z<{\displaystyle \frac{110,5-96}{7,06}})$

$P(89,5<X<110,5)=P(-0,92<Z<2,05)$

$P(-0,92<Z<2,05)=P(Z<2,05)-P(Z<-0,92)$

$P(-0,92<Z<2,05)=0,9798-(1-0,8212)=0,9798-0,1788=0,801$