Ejercicio resuelto de Distribución binomial · Matemáticas I

Murcia, septiembre 19

La probabilidad de que una flecha dé en la diana es $0,40$. Si se lanzan 9 flechas, determine:

a) [1 p.] Qué tipo de distribución sigue la variable aleatoria que cuenta el número de flechas que dan en la diana.

b) [0,5 p.] Cuál es la media y la desviación típica de esta distribución.

c) [1 p.] Cuál es la probabilidad de que al menos 5 flechas den en la diana.

a) El experimento puede estudiarse como una distribución binomial, con $n=9$ y $p=0,40$. $X\sim B(9,0,4)$

b) La media de una distribución binomial es:

$\mu =n\cdot p$

$\mu =9\cdot 0,40=3,6$

La desviación típica de una distribución binomial es:

$\sigma =\sqrt{n\cdot p\cdot q}$

Como $q=1-p=1-0,40=0,60$, entonces:

$\sigma =\sqrt{9\cdot 0,40\cdot 0,60}=\sqrt{2,16}\approx 1,4697$

c) Si $X$ mide el número de dianas al lanzar 9 flechas, entonces:

$P(X=r)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{9}{r}\right)\cdot 0,4^r\cdot 0,6^{9-r}$

Queremos calcular la probabilidad de que al menos 5 flechas den en la diana:

$P(X\ge 5)=P(X=5)+P(X=6)+P(X=7)+P(X=8)+P(X=9)$

$P(X\ge 5)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{9}{5}\right)\cdot 0,4^5\cdot 0,6^4+\left(\genfrac{}{}{0px}{}{9}{6}\right)\cdot 0,4^6\cdot 0,6^3+\left(\genfrac{}{}{0px}{}{9}{7}\right)\cdot 0,4^7\cdot 0,6^2+\left(\genfrac{}{}{0px}{}{9}{8}\right)\cdot 0,4^8\cdot 0,6+\left(\genfrac{}{}{0px}{}{9}{9}\right)\cdot 0,4^9$

$P(X\ge 5)=126\cdot 0,4^5\cdot 0,6^4+84\cdot 0,4^6\cdot 0,6^3+36\cdot 0,4^7\cdot 0,6^2+9\cdot 0,4^8\cdot 0,6+0,4^9\approx 0,2666$