Ejercicio resuelto de Distribución binomial · Matemáticas I

Asturias, junio 19, opción B

Pedro y Luis son aficionados a los dardos. Pedro acierta en el centro el $10\mathrm{\%}$ de las veces y cada vez que acierta gana $400\text{€}$. Luis acierta en el centro el $20\mathrm{\%}$ de las veces y cada vez que acierta gana $100\text{€}$. Cuando fallan no ganan ni pierden nada. Tira cada uno dos dardos. Calcula las siguientes probabilidades:

a) Que Luis acierte en el centro las dos veces. (0,75 puntos)

b) Que Pedro acierte en el centro una sola vez. (1 punto)

c) Que entre los dos hayan ganado $600\text{€}$. (0,75 puntos)

Puede hacerse con un diagrama de árbol o usando distribuciones binomiales.

Para Pedro, llamamos $X$ al número de aciertos en dos lanzamientos:

$X\sim B(2,0,10)$

Por tanto:

$p=0,10$ y $q=0,90$

Para Luis, llamamos $Y$ al número de aciertos en dos lanzamientos:

$Y\sim B(2,0,20)$

Por tanto:

$p=0,20$ y $q=0,80$

a) La probabilidad de que Luis acierte las dos veces es:

$P(Y=2)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{2}{2}\right)\cdot 0,{20}^2=0,04$

b) La probabilidad de que Pedro acierte una sola vez es:

$P(X=1)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{2}{1}\right)\cdot 0,10\cdot 0,90=2\cdot 0,09=0,18$

c) Para que entre los dos ganen 600 €, Pedro debe acertar una vez y Luis debe acertar dos veces.

Como los sucesos son independientes:

$P(X=1\cap Y=2)=P(X=1)\cdot P(Y=2)=0,18\cdot 0,04=0,0072$