Ejercicio resuelto de Distribución binomial · Matemáticas I

Madrid, julio 19, opción A

Una empresa ha llevado a cabo un proceso de selección de personal.

a) (1.25 puntos) Se sabe que el $40\mathrm{\%}$ del total de aspirantes han sido seleccionados en el proceso. Si entre los aspirantes había un grupo de 8 amigos, calcule la probabilidad de que al menos 2 de ellos hayan sido seleccionados.

b) (1.25 puntos) Las puntuaciones obtenidas por los aspirantes en el proceso de selección siguen una distribución normal, $X$, de media $5.6$ y desviación típica $\sigma$. Sabiendo que la probabilidad de obtener una puntuación $X\le 8.2$ es $0.67$, calcule $\sigma$.

a) El experimento puede estudiarse como una binomial, con $n=8$ y $p=0,4$.

$X$ mide el número de amigos que han sido seleccionados en el proceso.

Por tanto:

$X\sim B(8,0,4)$

Queremos calcular la probabilidad de que al menos 2 amigos hayan sido seleccionados:

$P(X\ge 2)=1-P(X=0)-P(X=1)$

$P(X\ge 2)=1-\left(\genfrac{}{}{0px}{}{8}{0}\right)\cdot 0,4^0\cdot 0,6^8-\left(\genfrac{}{}{0px}{}{8}{1}\right)\cdot 0,4^1\cdot 0,6^7$

$P(X\ge 2)=1-0,6^8-8\cdot 0,4\cdot 0,6^7$

$P(X\ge 2)\approx 0,8936$

b) La distribución de las puntuaciones es normal:

$X\sim N(5,6,\sigma )$

Tipificamos usando el cambio:

$Z={\displaystyle \frac{X-\mu }{\sigma }}={\displaystyle \frac{X-5,6}{\sigma }}$

Se sabe que:

$P(X\le 8,2)=0,67$

Entonces:

$P(Z\le {\displaystyle \frac{8,2-5,6}{\sigma }})=0,67$

Buscamos en la tabla normal el valor correspondiente a $0,67$:

$P(Z\le 0,44)=0,67$

Por tanto:

${\displaystyle \frac{8,2-5,6}{\sigma }}=0,44$

${\displaystyle \frac{2,6}{\sigma }}=0,44$

$\sigma ={\displaystyle \frac{2,6}{0,44}}\approx 5,9$