Ejercicio resuelto de Distribución binomial · Matemáticas I

País Vasco, junio 19, opción B

Lanzamos un dado de seis caras 6000 veces. Calcular la probabilidad de que el número de veces que salga el 5:

a) sea superior a 1500.

b) esté comprendido entre 1000 y 1100.

Es un experimento binomial:

$X\sim B(6000,{\displaystyle \frac{1}{6}})$

La probabilidad de que salga 5 es:

$p={\displaystyle \frac{1}{6}}$

La probabilidad de que no salga 5 es:

$q={\displaystyle \frac{5}{6}}$

Como $n$ es muy grande, aproximamos la binomial mediante una normal.

La media es:

$\mu =n\cdot p=6000\cdot {\displaystyle \frac{1}{6}}=1000$

La desviación típica es:

$\sigma =\sqrt{n\cdot p\cdot q}=\sqrt{6000\cdot {\displaystyle \frac{1}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{5}{6}}}=28,87$

Por tanto:

$X\sim N(1000,28,87)$

Tipificamos usando el cambio:

$Z={\displaystyle \frac{X-\mu }{\sigma }}={\displaystyle \frac{X-1000}{28,87}}$

a) Queremos calcular la probabilidad de que el número de veces que salga el 5 sea superior a 1500:

$P(X>1500)=P(Z>{\displaystyle \frac{1500-1000}{28,87}})$

$P(X>1500)=P(Z>17,32)$

Como el valor es extremadamente grande:

$P(Z>17,32)\approx 0$

Por tanto:

$P(X>1500)\approx 0$

b) Queremos calcular la probabilidad de que el número de veces que salga el 5 esté comprendido entre 1000 y 1100:

$P(1000<X<1100)=P({\displaystyle \frac{1000-1000}{28,87}}<Z<{\displaystyle \frac{1100-1000}{28,87}})$

$P(1000<X<1100)=P(0<Z<3,46)$

$P(0<Z<3,46)=P(Z<3,46)-P(Z<0)$

$P(0<Z<3,46)=0,9996-0,5000=0,4996$