Ejercicio resuelto de Distribución binomial · Matemáticas I

Aragón, junio 2019, opción B

La probabilidad de que una persona escriba un mensaje de Twitter sin faltas de ortografía es $0,75$. Se sabe además que una persona escribe a lo largo del día 20 mensajes de Twitter.

A partir de esta información, responde a las siguientes cuestiones. NO es necesario finalizar los cálculos en ninguna de ellas, puede dejarse indicada la probabilidad, precisando los números que la definen.

a) (0,5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente la mitad de los mensajes escritos en un día, es decir 10, no tengan faltas de ortografía?

b) (0,5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que ningún mensaje de los 20 escritos en un día tenga faltas de ortografía?

c) (0,5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que 18 o más mensajes de los 20 escritos en un día sí tengan faltas de ortografía?

La variable aleatoria $X$ mide el número de mensajes sin faltas de ortografía.

Como hay 20 mensajes y la probabilidad de que un mensaje no tenga faltas es $0,75$, entonces:

$X\sim B(20,0,75)$

Además:

$p=0,75$ probabilidad de mensaje sin faltas.

$q=1-p=1-0,75=0,25$ probabilidad de mensaje con faltas.

a) Queremos que exactamente la mitad de los mensajes no tengan faltas, es decir, que 10 mensajes no tengan faltas:

$P(X=10)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{20}{10}\right)\cdot 0,{75}^{10}\cdot 0,{25}^{10}$

$P(X=10)=184756\cdot 0,056313514\cdot 0,00000095367=0,00992$

b) Queremos que ningún mensaje tenga faltas. Eso significa que los 20 mensajes no tienen faltas:

$P(X=20)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{20}{20}\right)\cdot 0,{75}^{20}$

$P(X=20)=0,{75}^{20}=0,00317$

c) Queremos que 18 o más mensajes tengan faltas. Como $X$ cuenta los mensajes sin faltas, eso significa que solo 0, 1 o 2 mensajes no tienen faltas:

$P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)$

$P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{20}{0}\right)\cdot 0,{25}^{20}+\left(\genfrac{}{}{0px}{}{20}{1}\right)\cdot 0,75\cdot 0,{25}^{19}+\left(\genfrac{}{}{0px}{}{20}{2}\right)\cdot 0,{75}^2\cdot 0,{25}^{18}$

$P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=0,{25}^{20}+20\cdot 0,75\cdot 0,{25}^{19}+190\cdot 0,{75}^2\cdot 0,{25}^{18}=1,61072\cdot {10}^{-9}$