Ejercicio resuelto de pH · Química · Comunidad Valenciana · 2021

Problema 3. Equilibrio ácido-base.

A 25 ${}^{\circ }\text{C}$, la constante de acidez del ácido láctico, ${\text{C}}_3{\text{H}}_6{\text{O}}_3$, que se emplea como suavizante en cosmética, vale $\mathrm{1,40}\cdot {10}^{-4}$; y la del ácido benzoico, ${\text{C}}_7{\text{H}}_6{\text{O}}_2$, utilizado como conservante en bebidas refrescantes, tiene un valor de $\mathrm{6,0}\cdot {10}^{-5}$.

a) ¿Cuál es el pH de una disolución 0,01 M de ácido láctico? (1 punto)

b) ¿Qué concentración de ácido benzoico debe tener una disolución para que su pH sea el mismo que el de la disolución del apartado (a)? (1 punto)

Nota: Considere que tanto el ácido láctico como el benzoico son monopróticos, HA.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{pH}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{disoluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{0,01}}\mathbf{\text{M}}\mathbf{\text{de}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{cido}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ctico?}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

$\mathrm{H}\mathrm{A}+{\mathrm{H}}_2\mathrm{O}\rightleftharpoons {\mathrm{A}}^{-}+{\mathrm{H}}_3{\mathrm{O}}^{+}$

Llamando $x$ a los moles por litro que se disocian:

$K_a=\frac{x^2}{c_0-x}=\mathrm{1,40}\cdot {10}^{-4}$

Antes de calcular conviene ver si se puede simplificar el denominador. La regla habitual es que la aproximación $c_0-x\approx c_0$ vale cuando $c_0\mathrm{/}{K}_a>100$, y aquí:

$\frac{c_0}{K_a}=\frac{\mathrm{0,01}}{\mathrm{1,40}\cdot {10}^{-4}}=\mathrm{71,4}$

Es menor que 100, así que la aproximación $\mathbf{\text{no}}$ es válida y hay que resolver la ecuación de segundo grado completa. Este es el detalle que suele costar el apartado.

$x^2+\mathrm{1,40}\cdot {10}^{-4}x-\mathrm{1,40}\cdot {10}^{-6}=0$

$x=\frac{-\mathrm{1,40}\cdot {10}^{-4}+\sqrt{(\mathrm{1,40}\cdot {10}^{-4}{)}^2+4\cdot \mathrm{1,40}\cdot {10}^{-6}}}{2}$

$x=\frac{-\mathrm{1,40}\cdot {10}^{-4}+\sqrt{\mathrm{5,620}\cdot {10}^{-6}}}{2}=\frac{-\mathrm{1,40}\cdot {10}^{-4}+\mathrm{2,371}\cdot {10}^{-3}}{2}$

$x=[{\mathrm{H}}_3{\mathrm{O}}^{+}]=\mathrm{1,115}\cdot {10}^{-3}\text{ M}$

$\mathrm{p}\mathrm{H}=-\log (\mathrm{1,115}\cdot {10}^{-3})=\mathrm{2,95}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{concentraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{cido}}\mathbf{\text{benzoico}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{tener}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{disoluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{pH}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{mismo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{disoluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{apartado}}\mathbf{\text{(a)?}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Mismo pH significa misma concentración de protones, así que $x$ ya lo conocemos y la incógnita pasa a ser $c$:

$[{\mathrm{H}}_3{\mathrm{O}}^{+}]=\mathrm{1,115}\cdot {10}^{-3}\text{ M}$

$K_a^{\mathrm{\prime }}=\frac{x^2}{c-x}=\mathrm{6,0}\cdot {10}^{-5}$

$c-x=\frac{x^2}{K_a^{\mathrm{\prime }}}=\frac{(\mathrm{1,115}\cdot {10}^{-3}{)}^2}{\mathrm{6,0}\cdot {10}^{-5}}=\frac{\mathrm{1,243}\cdot {10}^{-6}}{\mathrm{6,0}\cdot {10}^{-5}}=\mathrm{2,072}\cdot {10}^{-2}$

$c=\mathrm{2,072}\cdot {10}^{-2}+\mathrm{1,115}\cdot {10}^{-3}=\mathrm{2,18}\cdot {10}^{-2}\text{ M}$

El resultado tiene sentido: el benzoico es el más débil de los dos ($K_a$ menor), así que hace falta más concentración —unas dos veces más— para llegar al mismo pH.